§ 6. Диффузия к капле в неустановившемся потоке

Исследуем процесс тепломассообмена капли при больших числах Пекле с неустановившимся потоком, когда нестационарность процесса обусловлена нестационарным характером исходного, невозмущенного поля скоростей жидкости (размер капли фиксирован). Рассмотрим, в частности, случаи поступательного и деформационного течений в стоксовом приближении. Форму капли будем считать сферической.

Постановка задачи. Общее решение. Пусть сферическая кдпля радиуса а находится в потоке жидкости, представляющем собой суперпозицию некоторого установившегося потока с характерной скоростью (определяемой, например, в случае поступательного потока формулой (2.10), а для чисто деформационного течения и неустановившегося потока. На поверхности капли происходит полное поглощение растворенного в потоке вещества, концентрация которого вдали от капли задана и равна постоянной величине С. С учетом сказанного во введении нетрудно переформулировать эту задачу для случая растворения капли в потоке или теплообмена капли с заданной температурой ее поверхности.

В приближении диффузионного пограничного слоя в безразмерных переменных уравнение диффузии с граничными и начальным условиями можно записать в

следующем виде, аналогичном приведенному в §§ 1, 2:

Здесь использована связанная с центром капли сферическая система координат где угол отсчитывается от направления в точку стекания (т. е. от направления потока на бесконечности в случае поступательного потока), угловая координата точки натекания (см. гл. 2). Масштабами длины, скорости, времени и концентрации служат величины и С соответственно.

Функция определяющая начальное распределение концентрации, может быть задана в виде

что соответствует случаю, когда при концентрация в потоке постоянна, скачком начинается реакция на поверхности капли. Представляет интерес также случай

где - стационарное распределение концентрации, соответствующее режиму массообмена капли, на поверхности которой происходит полное поглощение растворенного вещества, с установившимся потоком, имевшим место при скорость которого равнялась скорости рассматриваемого неустановившегося потока в момент Таким образом, в отличие от случая (6.6а), в котором нестационарность поля концентрации обусловлена двумя факторами: переходным режимом химической реакции и неустановившимся обтеканием, в случае (6.66) эта нестационарность связана только с нестационарностью поля скоростей. Обе эти возможности реализуются в приложениях и будут рассмотрены ниже.

Для решения задачи (6.1) — (6.5) используем метод вспомогательных функций, описанный § 1. Безразмерную функцию тока вблизи поверхности капли в соответствии

с (1.1) представим в виде

причем в дальнейшем для простоты ограничимся классом задач, в которых функция с разделяющимися переменными, т. е.

(к этому классу относятся и рассматриваемые ниже задачи массопереноса к пузырю в поле поступательного или чисто деформационного течения).

Вводя вспомогательные функции (1.3) и подчинив их дифференциальным соотношениям (1.4), используем соотношения (1.6), (1.7), выбрав постоянную В равной единице. В результате получим вспомогательные функции в следующем виде:

причем функция определяется из решения системы уравнений в полных дифференциалах

Интегрируя левое и правое равенства, получим общее решение системы (6.10)

где

произвольная функция, причем можно показать [42], что произвольные значения угловой координаты, причем а функция получена разрешением интеграла

относительно

Учитывая теперь граничные условия (6.2) — (6.4), заключаем, что следует выбрать и решение,

согласно (1.5), принимает вид

Поскольку функция известна (первое равенство (6.9)), осталось найти как функцию времени и угловой координаты, используя начальное условие (6.5), (6.6а) или (6.5), (6.66) для определения функции в соотношениях (6.11), (6.12) (выбор постоянной несуществен). Для этого рассмотрим функцию согласно равенству (6.11).

В случае (6.6а), очевидно, имеем откуда

В случае (6.66) величина должна быть такой, чтобы функция совпадала с выражением для установившегося распределения концентрации в поле течения с функцией тока вблизи поверхности капли Поэтому согласно результатам, полученным в § 1 гл. 2, имеем в этом случае

Используя соотношения (6.11), (6.12), получаем

где функция определяется как обратная для функции (6.12); функция в зависимости от вида начального условия находится по формуле (6.15а) или (6.156).

Рассмотрим далее нестационарную диффузию к пузырю в неустановившемся потоке, скорость которого вблизи поверхности пузыря зависит от времени по закону [42]

т. е. поле течения соответствует суперпозиции установившегося и неустановившегося течений с функциями тока вблизи поверхности При имеем установившееся течение.

Отметим, что в стоксовом приближении метод определения функции по известной временной зависимости скорости течения вдали от пузыря приведен в работах [159, 187] для поступательного потока и в [42] для осесимметричного деформационного течения. В связи с тем, что этот метод требует применения численных расчетов, мы здесь не будем конкретизировать соответствующую функции (6.17) временную зависимость во всем диапазоне Заметим однако, что в интересном для практики случае малых значений времени эта зависимость легко строится аналитически [42] и соответствует равноускоренному течению с функцией тока вдали от пузыря

причем

Поступательный поток. Функция тока определяется выражениями (6.7), (6.8), (6.17) и точке натекания соответствует угол Для поля концентрации получаем

где

Здесь неполная бета-функция.

При получаем решение задачи для стационарного обтекания, причем в случае (6.6а) приходим к

результатам, приведенным в § 2, а в случае (6.66) имеем стационарную диффузию, исследованную в гл. 1.

Равноускоренному течению с функцией тока вдали от пузыря, определяемой формулой (6.18), соответствует поле концентрации (6.20) при малых причем из сопоставления формул (6.17) и (6.19) следует, что Нетрудно найти асимптотическое разложение функции при определяющее соответствующее разложение поля концентрации. Для числа Шервуда получим

где число Шервуда при стационарном обтекании и стационарном режиме поглощения вещества на поверхности пузыря (см. гл. 1).

Осесимметричное деформационное течение. В этом случае точкам натекания соответствует угол точкам стекания — углы (при смене знака величины коэффициента сдвига точки натекания и стекания меняются местами, и ситуация аналогична рассмотренной в гл. 2: поля концентрации и локальные диффузионные потоки при различаются, а полные потоки совпадают). Поле концентрации определяется по формуле

где

При имеем решение задачи при установившемся обтекании, для которого в случае (6.6а)

Видно, что время релаксации профилей концентрации и полного диффузионного потока к стационарным значениям составляет (ср. с соответствующими результатами для поступательного потока, формулы (2.17), (2.18), (2.27), (2.28)). Зависимость от времени согласно второй формуле (6.25) показана на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Отношение среднего числа Шервуда при нестационарном и соответствующем стационарном режиме в зависимости от времени для осесимметричного деформационного течения.

Случай (6.66) при со соответствует стационарной диффузии, исследованной в гл. 1.

При малых для равноускоренного течения с функцией тока вдали от пузыря, определяемой формулой (6.18), полагая согласно зависимостям (6.17), получим

Из формул (6.22), (6.26) видно, в частности, что, как и следовало ожидать, при обтекании с ускорением интенсивность массообмена растет, а при обтекании с замедлением уменьшается.