§ 6. Диффузия в системе параллельных круговых цилиндров

На практике часто приходится учитывать взаимное влияние поперечно обтекаемых цилиндрических тел на процесс диффузии растворенного ьещества к их поверхности. При этом рассмотренная в § 6 гл. 3 модель диффузии к одиночному цилиндру в неограниченном потоке оказывается недостаточной и нуждается в уточнении. Так, расстояние между трубками теплообменника может составлять от долей диаметра до нескольких диаметров трубки. Расстояния между волокнами фильтров, применяемых для промышленной очистки газов от аэрозольных частиц, обычно также не превышает нескольких диаметров волокна. Такого же порядка и расстояния между обонятельными волосками шелкопряда [65, 180].

В практических ситуациях цилиндры обычно расположены в пространстве либо случайным образом, либо так, что соседние цилиндры не следуют один за другим в направлении потока. Поэтому главным фактором, влияющим на интенсивность массопереноса к поверхности цилиндра в системе является изменение поля течения, определяющего конвективный перенос вещества. Для упорядоченных систем, устроенных таким образом, что соседние цилиндры следуют один за другим в направлении потока, пришлось бы учитывать также и эффект взаимодействия диффузионного следа предыдущего цилиндра с диффузионным пограничным слоем следующего, подобно тому, как это делалось для цепочек капель в § 4 гл. 2 (см. также анализ процесса массопереноса в цепочках сфер в следующем § 7).

Таким образом, основная трудность исследования процесса массопереноса в системе цилиндров заключается

в определении доля течения, поскольку точные аналитические решения соответствующей гидродинамической задачи отсутствуют даже в случае малых чисел Рейнольдса. Поэтому приходится строить различные модели поля течения. Две такие модели, пригодные для описания поля течения в предельных случаях больших и малых расстояний между поверхностями цилиндров по сравнению с их диаметром, рассматриваются ниже.

Разреженная система параллельных цилиндров. Рассмотрим систему параллельных круговых цилиндров одинакового диаметра в поступательном потоке, направленном по нормали к их осям. Цилиндры расположены в потоке случайным образом на больших по сравнению с их диаметром расстояниях. Для построения поля течения в. такой системе используем так называемую ячеечную модель [107]. Согласно этой модели каждый цилиндр считается расположенным на оси коаксиальной с ним цилиндрической ячейки, внутри которой локализованы возмущения поля течения, вносимые данным цилиндром. Предполагается, что все ячейки равноправны, имеют одинаковые размеры и плотно заполняют выделенный объем системы. Для простоты принимается, что ячейки тоже имеют форму кругового цилиндра. Тогда радиус ячейки легко определяется для случайного расположения цилиндров по известной доле, объема, занятого твердой фазой, и равен половине среднего расстояния между их осями (а — радиус цилиндра). В рамках ячеечной модели задача построения поля течения сводится к решению уравнений Навьё — Стокса, граничные условия для которых на поверхности цилиндра формулируются обычным образом, а вместо условий на бесконечности, соответствующих одиночному цилиндру, необходимо поставить граничные условия на поверхности ячейки. Именно эти граничные условия определяют характер гидродинамического взаимодействия между цилиндрами. Одно из них тривиально вытекает из условия сохранения массы жидкости, а строгая формулировка второго граничного условия принципиально невозможна без решения задачи обтекания системы тел в полной постановке. Поэтому приходится использовать интуитивные соображения, которые, помимо своей нестрогости, не приводят к однозначному результату, вследствие чего существуют различные ячеечные модели [107]. Наиболее часто используется модель Хаппеля [107, 139], в которой поверхность ячейки считается свободной от касательных напряжений, и модель

Кувабары [153], в которой на поверхности ячейки обращается в нуль вектор вихря.

Интересно отметить, что для плоской задачи построение поля течения в рамках ячеечной модели оказывается более простым, чем в случае обтекания одиночного цилиндра (поскольку в первом случае может быть построено решение в стоксовом приближении). При этом разные модели дают близкие между собой результаты.

Согласно расчету по ячеечной модели Хаппеля [139] в стоксовом приближении безразмерная функция тока вблизи поверхности цилиндра в системе случайно расположенных параллельных цилиндров с точностью до главного члена имеет такой же вид, как и для одиночного цилиндра (формула (6.5) гл. 3), если масштаб скорости определить следующим образом:

Здесь скорость фильтрации (т. е. средняя скорость потока в расчете на полное поперечное сечение системы, как если бы цилиндров не было), доля объема, занятого цилиндрами пористость системы). В модели Кувабары [153] последнее слагаемое в скобках в (6.1) заменяется на —3/4. Близкие к этому результаты дают и другие модели, например модель точечных сил [188].

Таким образом, в рамках ячеечной модели решение задачи о диффузии к одиночному цилиндру, приведенное в § 6 гл. 3, сохраняет силу и для системы цилиндров, если для определения масштаба скорости вместо формулы (6.3) гл. 3 использовать приведенную здесь формулу (6.1). Для числа Шервуда, согласно формуле (6.11) гл. 3, получим следующее выражение через стандартное число Пекле, определенное по скорости фильтрации [106]:

Отметим, что зависимость (6.2) применима лишь для достаточно разреженных систем, поскольку уже при (для модели Кувабары при эта зависимость дает бесконечно большое значение числа Шервуда.

Концентрированная система параллельных цилиндров [26]. В связи с отмеченными недостатками ячеечных моделей рассмотрим другой предельный случай, когда расстояние между поверхностями соседних цилиндров

мало по сравнению с их диаметром; построим модель течения и найдем число Шервуда.

Сначала исследуем движение жидкости в узком зазоре между двумя параллельными цилиндрами, оси которых нормальны к плоскости течения.

Методами гидродинамической теории смазки нетрудно показать, что при малых числах Рейнольдса, определенных по ширине зазора, распределение продольной составляющей скорости в прямоугольной декартовой системе координат представленной на рис. 4.7 (область II), дается формулой (в размерной форме)

где локальная полуширина зазора, продольная составляющая градиента давления, зависящая только от коэффициент динамической вязкости жидкости. Поскольку расход жидкости в зазоре на единицу длины цилиндра постоянен и равен для продольной составляющей скорости внутри зазора имеем

Рис. 4.7. Модель обтекания системы цилиндров.

Заметим, что при соответствующем определении функции выражение (6.3) справедливо для цилиндров любого поперечного сечения при условии, что полуширина зазора мала по сравнению с радиусом кривизны; для круговых цилиндров одинакового радиуса где — расстояние между осями цилиндров, расстояние по оси зазора от минимального поперечного сечения.

Рассмотрим для определенности систему параллельных круговых цилиндров (например, цилиндрических волокон фильтра), расположенных в шахматном порядке, когда ось каждого цилиндра проходит через центр

правильного шестиугольника, в вершинах которого лежат оси соседних цилиндров, так что расстояния между осями равны Жидкость проходит по системе геометрически подобных «горизонтальных» (типа II) и «наклонных» (типов I, III) каналов. В силу симметрии ясно, что расходы жидкости в каналах типов I, III равны половине расхода в канале типа И, причем последний равен (на единицу длины цилиндра), где и, — скорость фильтрации. Таким образом, формула (6.3) для распределения продольной составляющей скорости в каналах типа II определяет значение также и для каналов типов I, III, если заменить на и выполнить соответствующее преобразование координат.

Будем рассматривать диффузию к верхней половине цилиндра, показанного на рис. 4.7. Перейдем к безразмерным переменным, введя в качестве масштабов длины, скорости и концентрации соответственно радиус цилиндра а, скорость фильтрации и исходную концентрацию Введем безразмерную полярную систему координат связанную с центром цилиндра, отсчитывая, как обычно, угол от направления скорости фильтрации, как показано на рис. 4.7.

Определим безразмерную функцию токаф согласно соотношению (6.3) и условию несжимаемости жидкости таким образом, чтобы на рассматриваемой поверхности полуцилиндра выполнялось равенство Получим для области II

В соответствии со сказанным выше функцию тока вблизи поверхности полуцилиндра можно определить выражением

где

Следует отметить, что рассматриваемая модель течения, основанная на методах гидродинамической теории смазки, становится все менее точной при приближении к лучам а на этих лучах непригодна при любой сколь угодно малой величине зазора между цилиндрами. Из физического смысла задачи ясно, однако, что луч всегда является траекторией натекания, поэтому можно считать функцию соответствующим образом доопределенной и локально сглаженной при Очевидно, что для решения диффузионной задачи в приближении диффузионного пограничного слоя вид такого доопределения и сглаживания несуществен, важно лишь, что точка является точкой натекания.

При больших числах Пекле и условии полного поглощения на поверхности цилиндра соответствующая диффузионная задача аналогична рассмотренной ранее в § 6 гл. 3, и к ней может быть применен общий метод, описанный в конце § 1.

В переменных

где эта задача сводится к задаче (1.8) при и ее автомодельное решение выражается чзрез неполную гамма-функцию в виде (1.9). Для среднего числа Шервуда, используя формулу (1.24), с учетом соотношений (6.5), (6.6) получим

или, после вычисления интеграла,

Зависимость величины от коэффициента заполнения пространства цилиндрическими волокнами (при шахматном расположении цилиндров , согласно соотношению (6.7), показана на рис. 4.8 сплошной линией. Для сравнения дана

соответствующая зависимость (6.2) для разреженной системы, полученная в рамках ячеечной модели (штриховая линия), а также величина для модели одиночного цилиндра при разных числах Рейнольдса, определяемая соотношением (6.12) гл. 3 в главном приближении по большому числу Пекле (штрих-пунктирные прямые).

Рис. 4.8. Зависимость среднего числа Шервуда от коэффициента заполнения пространства цилиндрическими волокнами при шахматном расположении цилиндров (сплошная линия), штриховая линия — зависимость (6.2).

Видно, что, несмотря на принципиальное различие моделей течения, на которых основаны зависимости (6.2) и (6.7), они дают практически совпадающие результаты в промежуточной области изменения концентрации волокон (при при удалении от этой области результаты расчета по разным моделям все сильнее отличаются один от другого.

Интересно отметить, что, в отличие от модели] изолированного цилиндра, в обеих моделях, учитывающих взаимодействие цилиндров, число Шервуда в соответствии с экспериментальными данными не зависит от числа Рейнольдса (достаточно малого). Модель, основанная на методах гидродинамической теории смазки, дает возможность оценить влияние взаимодействия цилиндров на пределы применимости результатов по числу Рейнольдса. Действительно, длины входных участков в зазорах (вблизи лучей имеющие порядок где число

Рейнольдса, рассчитанное по полуширине зазора, должны быть малыми по сравнению с длиной каналов а. Отсюда следует условие для числа Рейнольдса, определенного обычным образом по радиусу цилиндра, получим Таким образом, допустимый верхний предел чисел Рейнольдса растет с ростом концентрации (уменьшением пористости) системы, что также соответствует экспериментальным данным.

Для практических расчетов массопереноса в системе цилиндров можно использовать модель одиночного цилиндра (формула (6.12) гл. 3) при концентрациях ячеечную модель (формула при и модель, основанную на гидродинамической теории смазки (формула (6.7)), при