§ 3. Общая картина процесса конвективного массотенлопереноса внутри капли при больших числах Пекле. Пределы применимости приближения диффузионного пограничного слоя

Опираясь на результаты, полученные в § 2, а также на общие представления о механизме переноса вещества и структуре поля концентрации рассмотрим картину изменения поля концентрации внутри движущейся капли с течением времени, следуя работе [121]. Цель этого анализа состоит в том, чтобы установить пределы применимости теории диффузионного пограничного слоя для области внутри капли и перейти затем к модели, пригодной для описания процесса массопереноса при больших значениях времени.

В общем случае капля в начальный период времени движется ускоренно или замедленно, достигая установившейся скорости движения. Анализ процесса переноса в течение этого периода осложнен нестационарностью поля скоростей. Не проводя здесь такого анализа (он будет дан позднее, в § 6, для области вне пузыря), заметим лишь, что безразмерные (отнесенные к радиусу) расстояния от поверхности капли, на которых происходит изменение концентрации в этот период, будут порядка где числа Шмидта. Последнее вытекает из сопоставления времени релаксации поля скоростей и характерного времени проникания вещества на глубину у за счет диффузии. Таким образом, глубина проникания будет мала по сравнению с толщиной диффузионного пограничного слоя при условии справедливом при малых числах Рейнольдса и любых числах Шмидта или при любых числах Рейнольдса, но больших числах Шмидта.

Как следует из результатов § 2, поверхность капли представляет собой поверхность разрыва концентрации растворенного вещества, причем на внешней и внутренней сторонах этой поверхности образуются диффузионные пограничные слои, безразмерная толщина которых порядка Жидкость в этих пограничных слоях движется по направлению к области задней критической точки, после достижения которой уносится от поверхности капли соответственно на бесконечность (образуя внешний диффузионный след, подробно изученный в гл. 1) и внутрь

капли (образуя внутренний диффузионный след, аналогичный внешнему следу до области смешения ). Общая схема расположения диффузионных пограничных слоев и диффузионных следов вне и внутри капли показана на рис. 7.3.

Основное отличие системы внутренний пограничный слой — внутренний след от рассмотренной в гл. 1 системы внешний пограничный слой — внешний след заключается в том, что первая из них с течением времени оказывается в известном смысле замкнутой.

Рис. 7.3. Схема течения вне и внутри капли и структура поля концентрации.

Действительно, продольный конвективный перенос вещества во внутреннем следе, пронизывающем каплю вдоль ее оси, приводит к «замыканию» полей концентрации в задней и передней внутренних областях критических точек. Указанное обстоятельство существенным образом влияет на всю картину изменения поля концентрации внутри капли и в значительной мере ограничивает возможности применения теории диффузионного пограничного слоя.

Внутренний диффузионный след. В связи со сказанным рассмотрим внутренний диффузионный след подробнее. Подобно внешнему следу он имеет толщину порядка т. е. значительно большую, чем толщина диффузионного пограничного слоя (здесь и всюду далее индекс 2 опускаем). Изменение концентрации при переходе из диффузионного пограничного слоя во внешнюю область (которой здесь служит ядро тороидального циркуляционного потока внутри капли) будет того же порядка, что и при переходе из области следа во внешнюю область. Поэтому градиенты концентрации в пограничном слое будут

больше, чем в следе. В результате содержание растворенного в жидкости вещества в процессе движения жидкости вдоль внутренней поверхности капли будет меняться значительно быстрее, чем в следе. Это означает, что когда жидкость движется в области внутреннего следа вдоль оси капли от задней критической точки к передней, концентрация в ней остается относительно неизменной. Отсюда следует важный вывод, что концентрации во внутренних областях задней и передней критических точек в главном приближении по обратному числу Пекле становятся одинаковыми (с точностью ) по истечении времени, достаточного для прохождения жидкой частицы от внутренней области передней критической точки через внутренний диффузионный пограничный слой, внутреннюю область задней критической точки, область внутреннего следа и возвращения во внутреннюю область передней критической точки.

Действительно, из результатов гл. 1 непосредственно следует, что линии тока, ограничивающие систему внутренний диффузионный пограничный слой внутренний диффузионный след, проходят на расстоянии порядка от задней критической точки. В самой внутренней области задней критической точки изменение концентрации за счет диффузии будет порядка Жидкая частица находится в области в течение времени порядка (в качестве масштаба времени, как и в § 2, выбираем безразмерное расстояние, отсчитываемое от задней критической точки внутрь капли вдоль ее оси). Следовательно, за время пребывания частицы жидкости в области концентрация изменится на величину порядка Поэтому при переходе из области диффузионного пограничного слоя, где в область следа за пределами где изменение концентрации будет порядка Аналогичным будет и изменение концентрации при дальнейшем движении жидкой частицы в область передней критической точки. Эти изменения меньше, чем те, которые возникают при движении в следе (в раз). На основании изложенного можно заключить, что концентрация во внутреннем следе будет постоянной с точностью до величины порядка и совпадающей с концентрациями во внутренних областях задней и передней критических точек.

Механизм переноса вещества внутри капли. Теперь можно описать общий механизм процесса переноса вещества и получить необходимые в дальнейшем оценки интенсивности

переноса в различных областях внутри капли.

Пусть, для определенности, разность концентраций на внутренней поверхности капли и на границе внутреннего диффузионного пограничного слоя с ядром тороидального вихря равна Следовательно, градиент концентрации поперек пограничного слоя будет порядка а изменение концентрации растворенного вещества, переносимого жидкой частицей при ее движении во внутреннем диффузионном пограничном слое за время будет порядка Сравним эту величину с изменением концентрации в ядре внутреннего вихря за счет диффузии. Градиенты концентрации в ядре будут иметь порядок разности между концентрациями в ядре и на внутренней поверхности капли. Поэтому за то же время изменение концентрации в ядре за счет диффузии составит величину порядка

На основании изложенного ясно, что если изменения концентрации и одного порядка, то перенос вещества в пограничном слое будет осуществляться значительно быстрее, чем внутри ядра циркуляционного течения. Такая ситуация имеет место в течение короткого начального периода процесса. В этот период растворенное вещество переносится из внутреннего пограничного слоя к поверхности капли и, поскольку скорость переноса из ядра тороидального вихря слишком мала, чтобы компенсировать убыль концентрациив пограничном слое, концентрация в последнем падает до весьма низкого значения. В связи с тем, что внутренний след образован частицами жидкости, которые прошли через весь внутренний диффузионный пограничный слой, он так же быстро, в течение короткого начального периода, теряет большую часть растворенного вещества.

Пределы применимости автомодельного решения, полученного в приближении диффузионного пограничного слоя. Оценим теперь продолжительность начального периода, о котором только что шла речь. Согласно сказанному выше она совпадает с промежутком времени, необходимым для того, чтобы жидкость в системе внутренний пограничный слой — внутренний след совершила один оборот. Другими словами, требуется вычислить время циркуляции жидкости вдоль линии тока, проходящей на расстоянии от поверхности капли в ее миделевом сечении (или, что то же, на расстояния от передней или

задней критической точки и на расстоянии от оси капли). Такие линии тока определяются выражением

Здесь безразмерная функция тока для области внутри капли, записываемая с использованием масштаба скорости (2.10) и длины а в виде

Подчеркнем, что выражение (3.2) справедливо как для малых, так и для больших чисел Рейнольдса (в стоксэвом приближении и в условиях потенциального обтекания соответственно). Искомое время определяется интегралом

где дифференциал длины дуги, отсчитываемой вдоль линии тока, скорость жидкости, а интеграл берется по замкнутой линии тока, удовлетворяющей условию (3.1). Простая оценка этого интеграла дает [121]

По определению, представляет собой время «замыкания» системы внутренний диффузионный пограничный слой — внутренний диффузионный след. При концентрация во внутренней области передней критической точки, согласно сказанному выше, совпадает с пониженной концентрацией во внутреннем следе и области задней критической точки. Вместе с тем при построении автомодельного решения в приближении диффузионного пограничного слоя, как было детально разъяснено в гл. 1, существенно использовалась процедура сращивания асимптотического разложения поля концентрации в области передней критической точки с невозмущенным полем. По указанным выше причинам такая процедура сращивания по истечении времени «замыкания» становится невозможной, и построенное в § 2 автомодельное решение для диффузионного пограничного слоя внутри капли перестает быть пригодным при Поэтому при больших значениях времени необходимо использовать другие приближенные методы решения задачи о массопереносе внутри капли.

Массоперенос внутри капли при умеренных значениях времени Влияние объемной

химической реакции. При временах, превышающих но еще не настолько больших, чтобы произошло существенное изменение концентрации в ядре тороидального вихря, можно по-прежнему рассматривать диффузионный пограничный слой на внутренней поверхности капли с примыкающим к нему ядром потока, причем концентрация в ядре постоянна и равна своему первоначальному значению. Однако, согласно сказанному выше, концентрацию на входе в пограничный слой уже нельзя считать невозмущенной. Ее необходимо определять из условия сращивания с полем концентрации во внутреннем диффузионном следе. Задача осложняется тем, что концентрация в последнем, в свою очередь, зависит от распределения концентрации в диффузионном пограничном слое.

Эту трудность можно преодолеть путем использования метода вспомогательных функций, аналогичного описанному в § 1 и позволяющего свести уравнение диффузионного пограничного слоя к уравнению типа теплопроводности. При этом концентрацию на входе в пограничный слой задаем как некоторую неизвестную функцию вспомогательных переменных. Построим далее обычным методом поля концентрации во внутреннем диффузионном пограничном слое и внутреннем следе, в выражения для которых войдет эта неизвестная функция, и осуществим процедуру асимптотического сращивания распределений концентрации в окрестности передней критической точки и в следе. В результате получается интегральное уравнение для определения введенной функции [23, 84, 86], решив которое найдем искомое поле концентраций внутри капли.

Решение соответствующего интегрального уравнения было получено численным методом в работе [23], причем при расчете авторы ограничились первым приближением по малому параметру Результаты расчета полного потока вещества на внутреннюю поверхность капли показаны на рис. 7.4 в виде зависимости величины от безразмерного времени при разных значениях числа Пекле.

На рис. 7.4 видно, что в полном соответствии с проведенным выше качественным анализом процесса массопереноса внутри капли в начальной стадии процесса, т. е. при зависимость величины от времени универсальна относительно и совпадает с результатом, полученным в § 2 согласно автомодельному решению для диффузионного пограничного слоя, на входе

которого концентрация является невозмущенной. Процесс массопереноса в пограничном слое выходит на стационарный режим при и остается стационарным до момента Начиная с этого момента на вход пограничного слоя поступает поток с возмущенной концентрацией (в связи с завершением формирования внутреннего диффузионного следа).

Рис. 7.4. Среднее число Шервуда для внутренней задачи в зависимости от безразмерного времени (объемная реакция отсутствует).

В результате процесс вновь становится нестационарным, причем при полный поток вещества на внутреннюю поверхность капли начинает быстро уменьшаться.

Следует однако подчеркнуть, что нет никаких оснований ожидать, что такое уменьшение потока вещества будет продолжаться и далее. Действительно, с течением времени концентрация уменьшается не только в пограничном слое, но и в ядре тороидального вихря, и построенное решение, основанное на допущении о сохранении невозмущенной концентрации в ядре, перестает быть пригодным. Более того, как будет показано далее в § 4, вследствие новой перестройки механизма массопереноса при полный поток на внутреннюю поверхность капли вновь приближается к стационарному значению.

Интересно отметить, что в случае объемной химической реакции первого порядка внутри капли вторичный выход на стационарный режим массопереноса можно проследить, оставаясь при этом в рамках только что описанной модели.

Рис. 7.5. Среднее число Шервуда для внутренней задачи в зависимости от безразмерного времени при наличии объемной химической реакции первого порядка внутри капли,

Основным исходным уравнением служит безразмерное уравнение нестационарной диффузии, в котором член, описывающий диффузионный перенос, дополнен слагаемым — где модифицированная безразмерная константа скорости объемной химической реакции. Простым преобразованием (например с это уравнение сводится к уравнению диффузии без реакции, поэтому его решение может быть получено методом, аналогичным описанному в конце § 1. После соответствующего изменения начальных и граничных условий вновь вводится неизвестная функция, описывающая концентрацию на входе в диффузионный пограничный слой, и общая процедура расчета сохраняется. Более того, в этом случае можно с еще большим основанием ограничиться первым приближением при решении интегрального уравнения.

Результаты такого расчета [23] — зависимости от безразмерного времени представлены на рис. 7.5 при разных значениях (первичный выход на стационарный режим соответствует результатам работы [57]).

Видно, что рост безразмерной константы скорости объемной химической реакции, так же как рост числа Пекле, приводит к более позднему проявлению влияния диффузионного следа на полный диффузионный поток к поверхности капли. Ясно виден также вторичный выход диффузионного потока на стационарный режим.

Поле концентрации внутри капли при больших значениях времени. Оценим необходимые для дальнейшего порядки величин концентрации в диффузионном следе и диффузионном пограничном слое внутри капли, рассматривая соответствующие диффузионные потоки. Безразмерный диффузионный поток из системы внутренний пограничный слой — внутренний след имеет порядок а диффузионный поток из внутреннего пограничного слоя к поверхности капли, а затем во внешний пограничный слой — величина порядка В отсутствие источников вещества указанные два потока должны совпадать, т. е.

в соответствии с результатом, полученным в § 2. Это означает, что в системе внутренний пограничный слой — внутренний след концентрация мала по сравнению с концентрацией в ядре тороидального вихря. В случаях, когда фигурирующий в граничном условии (2.5) коэффициент распределения концентрации во внутреннем и внешнем пограничных слоях будут одного порядка, т. е. порядка Следовательно, принимая концентрацию во внутреннем и внешнем пограничных слоях равной концентрации во внешней области, вносим ошибку порядка которая пренебрежимо мала в главном приближении при больших числах Пекле. Этот результат будет далее использован при формулировке граничного условия для концентрации на внешней границе ядра тороидального вихря.

Отметим еще, что внутренний след при больших значениях времени практически не оказывает влияния на перенос вещества внутри капли. Действительно, общий механизм переноса из ядра потока в след тот же, что и переноса из ядра в диффузионный пограничный слой, однако поверхность следа пренебрежимо мала (порядка сравнению с поверхностью пограничного слоя).