§ 3. Массоперенос к твердой сферической частице и капле в поле трехмерного деформационного течения

Используем результаты § 1 для решения конкретных задач трехмерного диффузионного пограничного слоя. Рассмотрим массоперенос к сферической капле или твердой частице в произвольном деформационном линейном сдвиговом потоке, распределение скоростей которого на бесконечности имеет вид

где безразмерные компоненты скорости и тензора сдвига, при нормировке которых в каждом конкретном случае выбираются подходящие значения, записанные в декартовой системе координат, связанной с центром частицы (здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование), — символ Кронекера. Равенство нулю суммы диагональных элементов тензора следует из условия несжимаемости жидкости симметрия компонент тензора сдвига относительно перестановки индексов соответствует отсутствию вращательной составляющей скорости жидкости на бесконечности (деформационное течение).

Решение гидродинамической задачи об обтекании сферической капли деформационным стоксовым потоком (3.1) имеет вид [14]

где отношение вязкостей капли и окружающей жидкости, значение соответствует твердой частице, а газовому пузырю.

Симметричный тензор путем поворота системы координат может быть приведен к диагональному виду с компонентами ), которые определяются путем решения кубического уравнения Диагональные элементы приведенного к главным осям тензора определяют интенсивность растягивающего (сжимающего) движения вдоль осей координат. В соответствии с условием несжимаемости только два диагональных элемента из трех являются независимыми. Симметричный тензор сдвига имеет три инварианта:

которые остаются неизменными при любых поворотах (с отражениями) исходной системы координат.

Декартову систему координат, связанную с главными осями тензора сдвига, обозначаем Без ограничения сущности будем считать, что В сферической системе координат, связанной с главными осями тензора сдвига, старшие члены разложения тангенциальных составляющих скорости жидкости (3.2) вблизи поверхности капли и твердой частицы даются формулами (при

где значение соответствует капле умеренной вязкости а твердой частице

Из выражений (3.4) видно, что поле течения трехмерно при Следует отметить, что осесимметричный случай, соответствующий значениям сматривался ранее для капли в § 6 гл. 1, а для твердой сферы — в § 3 гл. 3.

Из соотношения (3.4) следует, что на поверхности сферической капли или твердой частицы имеются шесть изолированных особых критических точек, расположенных на главных осях тензора сдвига: первые две из которых являются точками натекания, две последующие — точками стекания, а последние две — нейтральными точками (особенность типа седла). В предельном осесимметричном случае вместо последних четырех изолированных критических точек на экваторе капли появляется критическая линия стекания.

Характеристическое уравнение, определяющее зависимость искомой криволинейной координаты X от сферических координат и одинаково для случая капли и твердой сферы:

При выводе этого уравнения использованы соотношения (1.20), (1.22), (3.4).

Нетрудно показать, что общее решение уравнения (3.5) может быть представлено в форме

где С — произвольная постоянная; при записи показателя х была исключена компонента путем использования первого равенства (3.3). Зависимость криволинейной координаты X от сферических координат получаем, полагая в (естественно, можно положить и где любая достаточно «хорошая» функция).

На рис. 4.6 показано качественное поведение предельных линий тока на поверхности капли или твердой частицы в первом квадранте величина переменной изменяется в пределах от нуля до бесконечности. Интегральный диффузионный поток на эту часть

поверхности вычисляется путем использования выражения (1.12) при Подынтегральную функцию в (1.12) определяем по последней формуле (1.23) с учетом соотношения (которое является следствием (3.6) при а также того, что в рассматриваемой области координата изменяется в пределах

Рис. 4.6. Предельные линии тока на поверхности сферической частицы (капли), обтекаемой произвольным деформационным линейным сдвиговым потоком.

Для функции получаем

В случае капли, обтекаемой плоским сдвиговым потоком (трехмерное поле течения), что соответствует значениям интеграл (3.7) можно выразить в элементарных функциях:

Вычисление интегрального диффузионного потока на всю поверхность капли проводится по формулам (1.12), (3.8) при с учетом того, что интегральный поток на рассматриваемую часть поверхности (рис. 4.6) составляет 1/8 от полного потока. В результате вычислений для среднего числа Шервуда получаем [87]

где звездочкой домечены размерные компоненты тензора сдвига.

Выбирая за характерный масштаб сдвига второй размерный инвариант формулу (3.9) можно переписать в следующем эквивалентном виде:

где модифицированное число Пекле определяется выражением

Если результаты § 6 гл. 1, полученные для среднего числа Шервуда в случае сферической капли при осесимметричном деформационном обтекании переписать через модифицированное число Пекле то окажется, что оно отличается от (3.10) лишь числовым множителем, равным 0,624, т. е. менее чем на 1,5%. Поэтому формулу

которая дает отличие от точных результатов для осесимметричного и плоского деформационных течений менее 1%, по-видимому, можно использовать для приближенного определения среднего числа Шервуда для сферической капли, обтекаемой произвольным деформационным сдвиговым потоком (3.2). При этом параметр вычисляется согласно выражению (3.11).

Для случая твердой сферы, обтекаемой плоским сдвиговым потоком зависимость переменной от криволинейной координаты X определялась численно в работе [116] по первой формуле (1.23). Последующее интегрирование по поверхности сферы с учетом выражения (1.12) привело к следующему значению среднего числа Шервуда [116, 162]:

где модифицированное число Пекле вычисляется по формуле (3.11), т. е.

Соответствующие результаты § 3 гл. 3 для осесимметричного сдвига отличаются от (3.13) коэффициентом 0,905, т. е. менее чем на 1%. Это замечательное обстоятельство, как и в случае капли, позволяет высказать предположение [116], что среднее число Шервуда для сферической частицы очень слабо зависит от третьего инварианта (3.3) и для любой симметричной матрицы коэффициентов сдвига (3.1) может приближенно определяться с помощью формул (3.11), (3.13) (в последней из которых вместо численного коэффициента 0,899 удобнее взять просто 0,9),