§ 6. Диффузия в потоке с градиентом скорости

Осесимметричное деформационное течение. Рассмотрим установившуюся конвективную диффузию растворенного в потоке вещества к поверхности сферической капли в поле осесимметричного деформационного течения [29]. Как отмечено во введении, наряду с поступательным потоком такое течение является примером сравнительно простого движения вязкой жидкости, которое используется при модельном описании широкого класса реальных течений (течение с растяжением в теории турбулентности, поток вблизи оси диффузора или конфузора и т. п.). Аналогичная структура потока встречается и в некоторых прикладных задачах магнитной гидродинамики (см., например, [70]).

В прямоугольной декартовой системе координат, связанной с каплей, распределение скоростей невозмущенного (на больших расстояниях от капли) осесимметричного деформационного течения описывается линейной функцией координат и представляется в виде скалярного произведения постоянного тензора второго ранга на радиус-вектор

где величина является мерой интенсивности осевого растяжения или сжатия

Функция тока поля скоростей обтекания капли, удовлетворяющая на бесконечности условию (6.1), в стоксовом приближении в безразмерной форме имеет вид [189]

Здесь сферические координаты, связанные с центром капли, причем угол 9 отсчитывается от оси растяжения или сжатия, которая служит осью симметрии задачи плоскость симметрии), отношение вязкостей жидкостей внутри и вне капли; в качестве масштабов длины и скорости взяты радиус капли а и величина

Поле течения (6.2) характеризуется двумя критическими точками одной критической линией в которых линии тока,

соответствующие значению приходят на поверхность капли или уходят с нее. При линия будет критической линией натекания, при критической линией стекания, соответственно точки критическими точками стекания и натекания (рис. 1.3).

Найдем распределение концентрации растворенного в жидкости вещества и диффузионный поток на каплю, находящуюся в поле течения (6.2), в предположении, что на поверхности происходит полное поглощение вещества, концентрация которого вдали от капли постоянна.

Рис. 1.3. Схема разбиения ноля концентрации вне капли на области с различной структурой асимптотических решений для осесимметричного деформационного течения. Стрелками показаны линии тока, штрих-пунктиром — ось симметрии задачи.

Распределение концентрации в потоке определяется решением задачи (1.1), (1.3), (6.2). Будем считать, что число Пекле велико. С учетом наличия малого параметра приближенное решение задачи может быть построено методом, описанным в §§ 1-3.

Аналогичный асимптотический анализ показывает, что в рассматриваемом случае в поле течения также могут быть выделены характерные зоны с различными механизмами массообмена. Очевидно, расположение и конфигурация характерных зон будут существенно зависеть от знака параметра определяющего геометрию течения. Так, при пограничный слой будет начинаться в окрестности критической линии, а при в окрестности критических точек. Соответственно, в первом случае диффузионный след будет располагаться вдоль

линий а во втором случае — вдоль плоскости

Можно показать, что, как и в случае поступательного потока, для приближенного расчета интенсивности массообмена капли достаточно рассмотреть перенос вещества в диффузионном пограничном слое, в то время как полное решение задачи о концентрации включает построение решения и в области диффузионного следа.

Рассмотрим сначала диффузионный пограничный слой. Введя растянутую координату и ограничиваясь первыми членами разложения, из уравнения (1.1), граничных условий (1.3) и выражения для функции тока (6.2) в диффузионном пограничном слое после преобразования Мизеса получим

где

Формулировка задачи (6.3) должна быть дополнена условием сращивания решения в диффузионном пограничном слое с решением во внешней области вблизи критической точки (линии) натекания. В данном случае это условие дает

Для решения задачи (6.3), (6.4) введем новую переменную

где

В переменных уравнение (6.3) сводится к уравнению теплопроводности, и задача (6.3), (6.4) имеет

автомодельное решение

где

Формула (6.6) описывает распределение концентрации в диффузионном пограничном слое и позволяет найти дифференциальный и интегральный потоки вещества на поверхности капли, а также число Шервуда

Видно, что значения числа Шервуда в случаях одинаковы, несмотря на существенное различие локальных диффузионных потоков как по максимальным значениям, равным так и по распределению по поверхности капли (максимальные значения достигаются на критической линии при или в критических точках при причем в первом случае величина раз меньше, чем во втором). Это различие иллюстрируется рис. 1.4, где приведены нормированные распределения при (сплошные линии), а также, для сравнения, в случае поступательного потока согласно формуле (5.3) при (штриховая линия).

Аналогично тому, как это делалось в случае поступательного потока, можно показать, что решение в диффузионном пограничном слое (6.6) остается справедливым в окрестности точек (линии) натекания и становится непригодным в окрестности точек (линии) стекания, координаты которых где

Исследование диффузионного следа при когда точки стекания являются изолированными критическими

точками, вполне аналогично случаю обтекания капли поступательным потоком (см. § 3). Структура диффузионного следа и порядок характерных размеров соответствующих областей остаются теми же (рис. 1.3).

Рис. 1.4. Распределение локального диффузионного потока по поверхности капли в случае осесимметричного деформационного течения.

Можно указать также сходное с (3.21) составное разложение, равномерно пригодное (по параметру в) в областях

Функция определена формулой (6.2).

В случае отличающемся от предыдущих благодаря наличию линии, а не точки стекания, граница области диффузионного следа, как и прежде, определяется равенством Однако диффузионный след состоит всего из двух областей — окрестности линии стекания и области смешения конвективно-погранслойная и внутренняя области отсутствуют (рис. 1.3).

В области введя переменные и выделяя из уравнения (1.1) с учетом (6.2) главные члены разложения по малому параметру

получаем следующую краевую задачу для определения поля концентрации:

Второе граничное условие (при ) есть условие симметрии относительно плоскости третье получено из условия сращивания с решением в диффузионном пограничном слое (6,6), четвертое вытекает из условия сращивания с решением в примыкающей к области смешения где переносом по нормали к поверхности капли можно пренебречь по сравнению с тангенциальным переносом (соответствующее уравнение см. ниже).

Вид третьего граничного условия показывает, что решение задачи (6.9) следует искать в форме

Для определения функции имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение и граничные условия:

Это уравнение имеет частное решение поэтому легко найти и его общее решение. Окончательно для распределения концентрации в области получим [76]

Видно, что в плоскости симметрии концентрация не зависит от вязкости капли и растет линейно с

стоянием от ее поверхности. Для локального диффузионного потока в окрестности линии стекания имеем

Локальный диффузионный поток минимален в плоскости симметрии и увеличивается с ростом по закону, который быстро (экспоненциально) становится линейным по Как и прежде, вклад области в полный диффузионный поток на поверхность капли отличен от нуля лишь в третьем члене разложения по параметру 8.

Распределение концентрации в области где существен только тангенциальный перенос вещества к поверхности капли, а нормальным переносом можно пренебречь, определяется выражением

где .

Анализ диффузионного следа при показывает, что с ростом расстояния от поверхности капли в окрестности плоскости, проходящей через линию стекания, концентрация значительно быстрее приближается к невозмущенному значению, чем в окрестности выходящей из задней критической точки линии тока в случае поступательного потока (см. § 3).

Поступательно-сдвиговый поток [40, 138]. В качестве обобщения полученных выше результатов представляет интерес задача о диффузии вещества к поверхности капли, обтекаемой поступательно-сдвиговым потоком, когда поле течения на больших расстояниях от капли представляет собой суперпозицию поступательного потока со скоростью и осесимметричного деформационного течения, характеризуемого интенсивностью осевого растяжения (сжатия) причем поступательный поток направлен вдоль оси деформационного течения. В этом случае в прямоугольной декартовой системе координат, связанной

с каплей, поле скоростей вдали от капли имеет вид

В стоксовом приближении в сферической системе координат функция тока обтекания капли потоком (6.12) будет равна сумме функций тока (1.2) и (6.2), соответствующих обтеканию капли каждым из составляющих течений в отдельности (напомним, что при записи (1.2) и (6.2) приняты разные масштабы скорости).

Рис. 1.5. Схема линий тока течения, представляющего собой суперпозицию поступательного и осесимметрхтчного деформационного течений.

Выбрав в качестве масштабов длины и скорости величины безразмерную функцию тока для поступательно-сдвигового потока можно вблизи поверхности капли представить в виде

Безразмерный параметр характеризует носительную интенсивность деформационного течения. В зависимости от величины этого параметра возможны четыре типа обтекания капли; линии тока для каждого типа течения схематически показаны на рис. 1.5.

Переход от одного типа обтекания к другому определяется неравенствами (в скобках приведены угловые ко ординаты точек или линий натекания и стекания ):

В этом случае задача о массообмене капли с потоком при больших числах Пекле: в предположении о полном поглощении вещества на поверхности капли также может быть исследована асимптотическим методом, аналогичным изложенному. По сравнению с рассмотренными выше случаями конфигурация характерных зон с различными механизмами массообмена будет существенно более сложной, в частности, форма диффузионного пограничного слоя будет зависеть от типа обтекания.

Не приводя полного анализа задачи, дадим здесь лишь выражения для главных членов разложений величины локального потока вещества на поверхность капли и числа Шервуда.

Для случаев обтекания а) и в) распределение диффузионного потока на поверхности капли имеет вид

В случае б) распределение диффузионного потока на передней и задней частях поверхности капли описывается формулой

В случае г) распределение диффузионного потока на передней и задней частях поверхности капли соответственно имеет вид

где

Используя формулы (6.14) — (6.17), после интегрирования по поверхности капли для числа Шервуда можно получить выражения

Видно, что при изменении величины со число Шервуда при остается постоянным, сохраняя значение, равное числу Шервуда в случае однородного поступательного потока, и растет с ростом при Соответствующая зависимость показана на рис. 1.6 сплошной линией.

В предельном случае деформационного течения формула (6.19) согласуется с полученным ранее выражением (6.7), которому отвечает штриховая линия на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Зависимость среднего числа Шервуда для капли от относительной интенсивности деформационного и поступательного течений.

Сопоставление зависимостей (6.19) и (6.7) показывает, что уже при влиянием скорости поступательного потока на диффузию к капле в условиях обтекания поступательно-сдвиговым потоком практически можно пренебречь (с ошибкой менее Таким образом, совместное влияние поступательного и деформационного течений на интенсивность массообмена (величину числа Шервуда) следует учитывать лишь при