§ 3. Диффузионный след

Упрощение задачи в диффузионном пограничном слое было достигнуто благодаря возможности пренебречь тангенциальным диффузионным переносом по сравнению с радиальным. Такой подход становится непригодным в

области диффузионного следа капли где тангенциальная диффузия имеет такой же или даже более низкий порядок малости по сравнению с радиальной. В этом можно убедиться при переходе к растянутым переменным (1.5) и анализе порядков членов в уравнении (1.1) (или (1.4)). К аналогичному результату, очевидно, приводит и непосредственная подстановка решения (2.15) в уравнение (1.1) и оценка отношения слагаемых в фигурных скобках.

Равномерно пригодное для всей области асимптотическое разложение искомой функции с в ряд по малому параметру в построить не удается. Оказывается необходимым разбить область на несколько областей (рис. 1.1) и строить асимптотические решения в каждой из них, сращивая асимптотики на их условных границах.

Сначала рассмотрим конвективно-погранслойную область диффузионного следа В этой области, как и во внешней, правая часть уравнения (1.4) несущественна, т. е. Следовательно, концентрация в зависит лишь от функции тока. Конкретный вид этой зависимости определяется сращиванием с решением в диффузионном пограничном слое (2.13):

Учитывая равенство которое следует из (2.8), получаем для распределения концентрации в конвективно-погранслойной области

Выражение для функции тока приведено в формуле (1.2).

Отметим, что в области происходит перенос вещества, приходящего из диффузионного пограничного слоя, без изменения концентрации вдоль линий тока. Конвективно-погранслойное решение (3.2), как и решение для диффузионного пограничного слоя, становится непригодным вблизи оси диффузионного следа.

Анализ порядков конвективных и диффузионных членов путем перехода к переменным (1.5) или при помощи подстановки выражения (3.2) в уравнение (1.4) показывает,

что при правой частью уравнения нельзя пренебречь по сравнению с левой. Поэтому необходимо выделить граничащую с конвективно-погранслойной областью окрестность оси следа — внутреннюю область диффузионного следа в которой диффузия в радиальном направлении несущественна, а в тангенциальном направлении сравнима с конвективным переносом.

Запишем уравнение диффузии в переменных при условии, что в скобках в правой части уравнения (1.4) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым (последнее справедливо, в частности, в области

При выводе уравнения (3.3) были использованы соотношения

Все коэффициенты уравнения (3.3) должны быть выражены через с использованием выражения для функции тока (1.2).

Как уже отмечалось, исследование области следа непосредственно связано с анализом поведения функции тока. В области малым значениям соответствуют малые 0, поэтому с точностью до членов более высокого порядка

где

Подставляя (3.5) в (3.3), получаем уравнение для концентрации в области

Координата («растянутая» функция тока) введена здесь таким образом, что обе части уравнения имеют одинаковый порядок.

Переходим к формулировке граничных условий для уравнения (3.6). Прежде всего замечаем, что при решении задачи во всех областях, содержащих участки оси диффузионного следа т. е. в областях

следует использовать условие симметрии

эквивалентное требованию ограниченности решения при Записанное через переменную это граничное условие для области W имеет вид

Кроме того, необходимо удовлетворить условиям сращивания с решениями в прилегающих областях:

Правая часть условия (3.9) получена на основании решения (3.2) с последующим учетом того, что

Видно, что использование условия (3.10) оказывается невозможным без анализа распределения концентрации в области задней критической точки где существенны как радиальный, так и тангенциальный конвективный и диффузионный переносы вещества. Ясно, что в области следует ввести растянутые координаты (первая из них уже была использована выше при записи условия (3.10)). Тогда главный член разложения функции тока (1.2) по параметру примет вид

С учетом (3.11) из (1.1), первого условия (1.3) и условия (3.7) получаем уравнение и граничные условия для концентрации в области

сходные с уравнением и граничными условиями для концентрации в области передней критической точки (2.2).

Условия сращивания № с решениями в прилегающих областях — области диффузионного пограничного слоя

и внутренней области диффузионного следа — имеют вид

Правая часть условия (3.13) представляет собой главный член асимптотики решения (2.15) при .

Условие (3.14) показывает, что задачи в областях и «зацепляются». Однако эту трудность можно теперь обойти, заметив, что согласно (3.6), (3.8), (3.9) решение в имеет порядок в, а в соответствии с (3.12), (3.13) можно ожидать, что в области решение будет иметь порядок . В результате заключаем, что правую часть в условии (3.10) следует положить равной нулю. Тогда оно примет вид

Возвращаясь теперь снова к области будем искать решение задачи (3.6), (3.8), (3.9), (3.15) в виде Нетрудно убедиться, что условия (3.8) и (3.15) удовлетворяются при любых из уравнения (3.6) следует, что а из условия (3.9) находим В. Окончательно для распределения концентрации в области имеем [31]

С учетом равенства и соотношений (3.11), (3.16) условие сращивания (3.14) в области задней критической точки представим в виде

Прямой подстановкой асимптотики (3.17) в (3.12), (3.13) можно убедиться, что правая часть выражения (3.17) представляет распределение концентрации во всей области задней критической точки

Полученное решение (3.16) непригодно за пределами области ниже по потоку; в частности, оно не удовлетворяет условию на бесконечности (второе условие в (1.3)). Заметим, что определяемое формулой решение хотя и удовлетворяет этому условию, тем не менее непригодно вне поскольку получено в пренебрежении диффузионным переносом, что неоправданно во всех других областях диффузионного следа; на оси потока

следовательно, распределение концентрации за пределами ниже по потоку также не удовлетворяет второму граничному условию (1.3). Поэтому необходимо рассмотреть еще область смешения В этой области, так же как и в радиальной диффузией можно пренебречь по сравнению с тангенциальной.

Введя переменные и используя уравнение (3.6) и условие (3.7), получаем следующее уравнение и граничное условие для

Условия сращивания имеют вид

Здесь использованы формулы (3.2) и (3.16), нижнее выражение в фигурной скобке определяет условие сращивания с и соответствует решению во внутренней области диффузионного следа, где переменные одного порядка малости, равного 8. Это следует из того, что а в области справедливы соотношения

Выражение

в котором — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, удовлетворяет уравнению и граничному условию (3.18), а также первому условию в (3.19). При фиксированном имеем [185]. Как и в [33], легко показать, что при формула (3.20) приводит к выражению, стоящему в нижней строке фигурной скобки (3.19). Для этого в интеграле (3.20) делаем замену переменной затем используем разложение

приводя интеграл к табличному [7]:

при Здесь вырожденная гипергеометрическая функция,

Из приведенного рассмотрения следует, что выражение (3.20) является точным решением задачи (3.18), (3.19) и дает распределение концентрации в области смешения диффузионного следа

Таким образом, в §§ 2, 3 получено распределение концентрации во всех характерных областях: . Из формул (2.13), (3.16), (3.17), (3.20), описывающих поле концентрации в диффузионном пограничном слое, в области задней критической точки, в конвективно-погранслойной и внутренней областях диффузионного следа, видно, что во всем интервале изменения угла 8 при распределение концентрации можно представить в виде равномерно пригодного составного разложения

Функция тока и выражение определены в (1.2) и (2.8).

В каждой точке формула (3.22) дает главный член разложения концентрации по малому параметру Это означает следующее: во всех областях выражение (3.22), записанное в соответствующих переменных порядка единицы, которые были введены ранее для изучения указанных областей, при в описывает распределение концентрации с точностью до членов более высокого порядка малости. Например, после введения переменных в выражение (3.22) и разложения его в ряд при в получаем .

Из формул (3.20), (3.22) видно, что концентрация в области диффузионного следа отлична от нуля и при фиксированном расстоянии до поверхности капли

достигает минимума на оси потока где она растет линейное расстоянием до поверхности капли для При этом имеет место довольно сложная зависимость распределения концентрации от вязкости капли, определенная выражениями (1.2), (3.20), (3.21); на оси потока за каплей при концентрация пропорциональна