2.2. Модель открытой реакции ... с субстратным угнетением

Субстратное угнетение — широко распространенный тип регуляторного воздействия на активность ферментов [3, с. 72; 68; 69]. Однако трактовка физиологической роли такой регуляции долгое время встречала затруднения, за исключением, может быть, угнетения аденозинтрифосфатом фосфофруктокиназы которое, как считают [69], способно предотвращать бесполезный синтез АТФ в гликолитической системе, когда его уровень достаточно высок. Математический анализ особенностей кинетики открытых ферментативных реакций при наличии субстратного угнетения показал возможность существования нескольких стационарных состояний с различной устойчивостью, гистерезиса и незатухающих колебаний [70—73].

Рассмотрим односубстратную обратимую реакцию [71]

где субстрат, продукт, фермент, угнетаемый субстратом, и — скорость реакции, скорости притока соответственно Примем, что

и что скорость реакций описывается выражением (1.26). Тогда поведение реакции (2.12) во времени можно описать системой, являющейся частным случаем системы (2.9):

Для удобства анализа приведем эту модель к безразмерному виду:

Здесь

— безразмерная скорость реакции (2.12).

Безразмерные переменные и параметры модели связаны с размерными следующим образом:

В соотношениях (2.17) использованы размерные параметры, входящие в выражение (1.26). Рассмотрим квазистационарную выходную характеристику модели (2.15), определяемую уравнением

Из уравнений (2.16) и (2.18) следует, что

где квазистационарные значения. Семейство квазистационарных выходных характеристик построенное по формуле (2.19), показано на рис. 6. Из этого рисунка видно, что при больших значениях квазистационарная скорость реакции становится отрицательной, т. е. реакция протекает в обратном направлении: Если значение а достаточно мало, то в некотором диапазоне значений зависимость неоднозначна, что связано с наличием экстремумов у функции На рис. 6 в экстремальных точках положительно. Покажем, что это имеет место при любых значениях параметров модели (2.15). Дифференцирование уравнения (2.18) дает

откуда

Рис. 6. Семейство квазистационарных выходных характеристик реакции (2.12), построенных по уравнению (2.19) при и различных значениях а (цифры на кривых)

Здесь и на рис. 7, 10, 11 пунктиром отмечены участки, соответствующие неустойчивым квазистационарным состояниям при

Рис. 7. Графическое нахождение стационарных состояний реакции (2.12) Стационарные состояния представляют собой точки пересечения гистерезисной квазистационарной выходной характеристики построенной по уравнению (2.19), с линейной характеристикой стока (источника) продукта Параметры»

В экстремальных точках должно выполняться условие учитывая уравнение (2.21),

Поскольку всегда неотрицательно, то экстремумы существуют лишь при

Однако скорость, определяемая выражением (2.16), может быть отрицательной только при что приводит к неравенству

которое противоречит выражению (2,23).

Из этого следует, что в случае трех стационарных состояний каждое из них имеет (как на рис. 7).

Выходная характеристика имеет форму, показанную на рис. 7, только в определенной области значепий параметров. Эта область

Рис. 8. Зависимость формы выходной характеристики реакции (2.12) от параметров а — плоскость параметров источника субстрата реакции (2.12). На плоскости построены границы (2.25) и (2.26), отделяющие области, в которых выходная характеристика реакции имеет качественно различные формы; б - качественно различные формы выходной характеристики реакции (2.12), соответствующие четырем областям, показанным на рис.

ограничена с одной стороны границей

на которой экстремумы сливаются с образованием точки перегиба, а с другой стороны — границей

при пересечении которой меняется знак в одной из экстремальных точек. Границы, определяемые уравнениями (2.25) и (2.26) в плоскости параметров изображены на рис. 8, а, а различные типы выходных характеристик — на рис. 8, б.

Уравнение линии нейтральности модели (2.15) имеет вид

линии моностационарности —

и линии кратности —

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 10. Предельные циклы на фазовой плоскости модели (2.15) реакции (2.12) при различных значениях параметра на кривых) и

Решение уравнений совместно с системой

позволяет получить параметрическое задание всех трех линий в плоскостях причем в качестве свободного параметра удобно взять стационарное значение Результат построения параметрических портретов модели (2.15) показан на рис. 9. Из этих портретов видно, что реакция (2.12) может иметь одно, два (по линии или три стационарных состояния. Как единственное стационарное состояние, так и два из трех (промежуточное — всегда седло) способны менять устойчивость и характер.

В ряде областей параметрических портретов выполняется условие существования устойчивого предельного цикла — неустойчивость всех стационарных состояний. Это условие является достаточным вследствие неустойчивости бесконечности модели (2.15) и вследствие того, что на осях и фазовые траектории входят внутрь положительного квадранта фазовой плоскости. Неустойчивость бесконечности вытекает из отрицательности правой части уравнения

при достаточно больших [65], а направление фазовых траекторий на осях можно получить, подставляя соответственно в первое и второе уравнения системы (2.15). На рис. 10 показан пример устойчивого предельного цикла, окружающего единственную стационарную точку.