8.5. Связь параметров возбудимых сред с характеристиками дифференциального уравнения мембраны

В моделях возбудимых сред одним из основных параметров, от которых зависит возникновение автоволновых процессов, является безразмерная характеристика где — длительности возбужденного и рефрактерного состояний. Характеристики возбудимых мембран и их ионные токи, определяющие длительность рефрактерного состояния изучены достаточно детально.

Чтобы управлять автоволновыми процессами на практике, нужно знать, чему соответствует параметр в реальных биологических возбудимых системах, нервных волокнах, электрических синцитиях, важно выяснить, как связаны эти параметры с характеристиками мембраны, со свойствами клеточных контактов.

Для ответа на эти вопросы требуются более детальные модели. Первым шагом к моделям такого типа являются цепочки электрически связанных релаксационных генераторов — клеток. Каждая клетка в такой модели описывается дифференциальным уравнением второго порядка типа Бонгоффера — Ван дер Поля . К системе типа как показано в главе 4, приводятся уравнения Ходжкина — Хаксли для мембраны аксона кальмара, уравнения Нобла для мембраны клетки сердца. Достоинством таких уравнений является возможность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений, метода нуль-изоклин.

Как показано в работе [53], параметр может быть интерпретирован как максимальная латентность возникающая при передаче возбуждения (см. также раздел 8.8).

Один из важных результатов, полученных при анализе цепочек электрически связанных клеток, состоит в следующем. Показано [54], что максимальная латентность определяется устойчивостью особой точки дифференциального уравнения мембраны при изменении одного из параметров (внешнего тока, рис. 93).

Рис. 93. Нуль-изоклины мембран двух типов с большой и малой латентностью

Пунктиром показано положение изоклины при внешнем токе а — особая точка теряет устойчивость (точка О устойчива, неустойчива); б — особая точка сохраняет устойчивость (точки устойчивы)

Если особая точка теряет устойчивость при некотором определяемом далее значении внешнего тока то латентность велика (порядка длительности потенциала действия). Если устойчивость не теряется, то мала (порядка длительности переднего фронта Это означает, что для сердечных клеток диапазон изменения

Как будет показано ниже, этот результат имеет два практически важных следствия. Во-первых, он позволяет интерпретировать в терминах ионных токов мембран (так как ионные токи определяют форму нуль-изоклин, см. главу 5). Во-вторых, он позволяет связать с просто измеряемыми в эксперименте электрофизиологическими характеристиками мембраны — током возникновения повторных ответов и аккомодацией. Это означает, что для оценки эффективности антиаритмических препаратов вместо втах, в принципе, можно использовать ток повторных ответов и аккомодацию.

Покажем коротко, как анализируется механизм возникновения латентности в простейшей цепочке, состоящей всего из двух одинаковых клеток. Уравнения такой цепочки имеют вид:

где

Подсистема (8.7а) описывает клетку 1, а подсистема (8.76) — клетку 2. Связь между клетками задается членом связи

Член описывает ток, текущий через клетку 2 от клетки 1. При подсистемы (8.7а) и (8.76) совпадают.

Как будет видно из дальнейшего анализа, результаты справедливы не только для цепочек, состоящих из клеток, описывающихся уравнениями но и для более широкого класса систем с похожим фазовым портретом. Так, с некоторыми поправками все это относится и к клеткам, описывающимся редуцированными уравнениями Ходжкина — Хаксли и Нобла. Поэтому здесь не конкретизируется вид функций Обратим внимание, что в подсистемах (8.7а) и (8.76), как и в модели при изменении z (внешнего тока) происходит сдвиг изоклины по оси на величину Это свойство будет использоваться ниже при анализе.

Анализ латентности проводится методом фазового портрета. Предполагается, что первой возбуждается клетка 1 (при клетка 2 находится в состоянии, соответствующем вершине потенциала действия), и изучается зависимость латентности ответа клетки 2 от начальных условий.

Для частного случая, когда форма потенциала действия близка к прямоугольной, анализ существенно упрощается, и вместо полной системы (8.7) можно рассматривать только подсистему (8.76). При этом действие клетки 1 на клетку 2 описывается с помощью эквивалентного генератора тока

где длительность, амплитуда потенциала действия. Таким образом, задача сводится к изучению зависимости латентности ответа в подсистеме (8.76) (уже системе второго порядка вместо четвертого!) от начальных условий в момент включения внешнего тока

Для рассматриваемого частного случая

где - значение тока при котором особая точка подсистемы (8.76) теряет устойчивость. Для потенциала действия непрямоугольной («реальной») формы оказывается равной длительности этого отсчитываемой на уровне

Эти результаты были получены следующим образом. На фазовом портрете подсистемы (8.76) были рассмотрены типы траекторий, возникающие при включении тока в различные фазы возбуждения. На рис. 94, а показана траектория, возникающая в случае, когда клетка находится в состоянии покоя. Движение из начальной точки в точку А быстрое, задержка отсутствует (точке А соответствует вершина потенциала действия). На рис. 94, б — г показаны траектории, возникающие, когда при клетка находится в состоянии рефрактерности. Траектория, при

(кликните для просмотра скана)

которой возникает большая задержка, приведена на рис. 94, б. На ней имеется участок где движение медленное. Латентность примерно равна времени движения по этому участку Легко видеть, что траектории типа изображенных на рис. 94, б могут наблюдаться только в случае, когда особая точка подсистемы (8.76) при рисунке она отмечена, как неустойчива, т. е. когда ток потери устойчивости Если подсистема (8.76). этому условию не удовлетворяет, возникают траектории типа изображенных на рис. 94, в, когда клетка вообще не возбуждается в ответ на включение тока. Достигнув устойчивой особой точки, представляющая точка системы будет находиться там вплоть до выключения тока, после чего переходит в состояние покоя О. На рис. 94, г иллюстрируется невозможность задержек, превышающих длительность плато потенциала действия Точка соответствует Если начальные условия таковы, что начальная точка расположена выше то возбуждение не возникает (траектория такого же типа, что и на рис. 94, е). Это связано с тем, что и ток выключается прежде, чем представляющая точка системы достигнет

Опишем некоторые следствия из этих результатов.

и повторные ответы. Рассмотренный механизм возникновения латентности тесно связан с возникновением в мембране повторных ответов — автоколебаний иод внешним током. Потеря устойчивости особой точки под током означает возможность возникновения повторных ответов. Это позволяет по наличию или отсутствию повторных ответов оценивать величину

Механизм возникновения в мембранах с повторными ответами большой латентности, сравнимой с длительностью потенциала действия, легко понять на качественном уровне. Обратимся к рис. 95.

Пусть в момент возбуждения клетки 1 клетка 2 находится в состоянии рефрактерности. Пока клетка 1 возбуждена, она является источником тока через клетку 2. Если величина тока достаточна для возникновения автоколебаний, то через некоторое время, определяемое периодом автоколебаний, появится импульс, который и будет зарегистрирован как ответ клетки 2, появившийся с большой задержкой. Импульсы, показанные пунктиром, не появятся, так как с окончанием потенциала действия клетки 1 исчезает внешний ток. В мембранах, где постоянный ток не может вызвать автоколебаний, больших задержек не возникает, так как при тех же начальных условиях передача возбуждения блокируется. На первый взгляд кажется, что больших задержек не появится и в случае, когда период автоколебаний велик (межимпульсные интервалы больше длительности потенциала действия). Детальный анализ, проведенный выше, показывает, что и в этом случае длительность потенциала действия.

Зависимость от наклона медленной нуль-изоклины. Для прикладной задачи поиска антиаритмических препаратов особый интерес представляют воздействия, которые влияют на латентность. Легко видеть, что таким свойством обладают воздействия, меняющие наклон изоклины При этом мембрану можно перевести из одного класса в другой не меняя порога возбуждения и амплитуды потенциала действия (см. рис. 93).

Латентностъ и аккомодация. В рассматриваемой модели величина оказывается тесно связанной с аккомодационными свойствами мембраны, а именно для клеток с хорошей аккомодацией

Действительно, клетки, в которых наблюдается феномен минимального градиента — отсутствие возбуждения при медленно нарастающем токе стимуляции, заведомо таковы, как на рис. это объясняется тем, что в рассматриваемой модели минимальный градиент возможен лишь в том случае, если изоклина вертикальна. При этом точка устойчива при любом внешнем токе. Если наклон изоклины уменьшается (см. рис. 93, а), аккомодационные свойства ухудшаются. Клетка возбудится при каком угодно медленном нарастании тока, лишь только он достигает некоторого порогового значения при котором точка становится неустойчивой.