2.4. Динамика открытых реакций, катализируемых олигомерными ферментами

В настоящее время большое внимание уделяется изучению свойств регуляторных ферментов, состоящих из нескольких субъединиц. Поскольку кинетика реакций, катализируемых такими ферментами, охватывает самые различные случаи угнетения и активации, то необходимо выяснить, каким образом каждая из этих регуляций сказывается на поведении реакции в проточных условиях.

Рассмотрим односубстратную обратимую реакцию для которой безразмерная скорость была выведена в разделе 1.4 (уравнение 1.75). В проточных условиях реакция описывается системой, аналогичной (2.15):

где

Смысл констант раскрыт в разделе 1.4.

При некоторых условиях модель (2.47) может иметь три стационарных состояния. В этом случае одно из них обязательно является седлом, поэтому в качестве признака множественности

стационарных состояний можно взять отрицательность определителя А, вычисленного при стационарных значениях

Запишем в общем виде выражение для

где

Основываясь на линейном приближении (раздел 2.1), будем считать, что если во всех стационарных состояниях типа неседла то система (2.47) имеет устойчивый предельный цикл. Иначе говоря, незатухающие колебания возможны либо при единственном неустойчивом стационарном состоянии, либо при трех неустойчивых стационарных состояниях, из которых одно всегда седло.

Выражение для имеет вид:

где

Из выражений (2.49, 2.50) видно, что может быть получено за счет каждого из слагаемых так как оба они могут принимать отрицательные значения. Для выполнения условия необходимо субстратное угнетение а для условия продуктная активация Эти же регуляции могут приводить и к неустойчивости стационарных состояний, что вытекает из условия и выражений (2.51), (2.52). Разумеется, из наличия субстратного угнетения или продуктной активации еще не следует существование множественности стационарных состояний или колебаний. Поэтому мы говорим о субстратном угнетении или продуктной активации лишь как о необходимых условиях.

Рассмотрим случай совместного действия этих двух регуляций. Угнетение субстратом проявляется в падении скорости реакции при достаточно больших Если значение мало, то стационарная точка, расположенная на участке с является седлом, поскольку отрицательно, а либо отрицательно, либо мало вследствие малости Возможность колебаний в такой реакции зависит то характера влияния на скорость При продуктном угнетении возможно существование неустойчивых состояний типа неседла . Однако если в стационарных состояниях в результате субстратного угнетения а продукт активирует реакцию то неустойчивое стационарное состояние не может быть неседлом,

Рис. 14. Зависимость формы выходной характеристики реакции» от параметров а — различные области плоскости параметров модели (2.47) при а форма выходной характеристики реакции при и значениях указанных на кривых. Цифры в скобках обозначают номер соответствующей области на рис. а. При указанных значениях параметров фермент изостерически угнетается субстратом

Рис. 15. Параметрический портрет модели (2.7) проточной реакции в случае изостерического угнетения олигомерного фермента ; значения остальных параметров см. рис. 14. В областях 1 и 2 имеется одно стационарное состояние, а в 3—6 — три стационарных состояния. Все стационарные состояния неустойчивы а областях 1, 3 и устойчивы в областях 2, 6. В областях 4, 5 неустойчиво одно из трех стационарных состояний

поскольку из следует: Аналогично, если вследствие продуктной активации то предположение о субстратном угнетении влечет за собой

Таким образом, субстратное угнетение и продуктная активация, взятые в отдельности, могут быть причиной существования множественности стационарных состояний и незатухающих колебаний, но совместное действие этих регуляций делает автоколебания в моносубстратной реакции невозможными.

Из выражений (2.49) — (2.52) видно, что субстратная активация и гиперболическая зависимость от эквивалентны по своему влиянию на поскольку в обоих случаях Если при этом продукт угнетает, то

в реакции возможно только одно устойчивое стационарное состояние.

Рассмотрим более подробно случай угнетения субстратом и продуктом и покажем, что свойства такой реакции аналогичны свойствам реакции (2.12). Выражение (1.75) для скорости реакции имеет вид более сложный по сравнению с феноменологической моделью (2.16), поэтому уравнение выходной характеристики в явном виде получить не удается. На рис. 14, б показано семейство выходных характеристик, построенное по уравнению

а на рис. 14, а представлены области плоскости параметров в которых форма выходной характеристики имеет качественно различный вид. Параметрический портрет, представленный на рис. 15, получен численным решением неявных уравнений линий Из него видно, что в динамическом отношении (число стационарных состояний, устойчивость, возможность колебаний) рассматриваемая модель эквивалентна не только модели (2.15), но и модели (2.41) двухсубстратной реакции. Кроме того, в работе [75] были продемонстрированы сходные динамические свойства и для случая продуктной активации в модели (2.47).

Если олигомерный фермент катализирует двухсубстратную открытую реакцию, то в ней возможны те же нелинейные эффекты. Покажем существование гистерезиса входной характеристики для реакции (2.32), скорость которой имеет вид выражения (1.102). Примем, что фермент аллостерически угнетается субстратом т. е.

где константа диссоциации комплекса субстрата с аллостерическим центром, число аллостерических центров на молекуле фермента. Пусть форма неактивна Тогда выражение (1.102) существенно упрощается:

Учитывая скорости притока и регенерации запишем в безразмерной форме математическую модель, аналогичную модели (2.36):

Рис. 16. Квазистационарная кривая в модели (2.55), полученная сечением поверхности скорости двухсубстратной проточной реакции Продукты) плоскостью источника субстрата и устойчивый предельный цикл при При указанных параметрах олигомер аллостерическя угнетается субстратом . Стрелками показано направление движения по предельному циклу

где

Константй использовались при выводе выражения скорости (1.102). На рис. 16 показан график скорости реакции (2.40) как функция переменных пересекаемый плоскостью Линия пересечения является квазистационарной характеристикой системы, поскольку на ней выполняется условие Как и следовало ожидать, при субстратном угнетении квазистационарная кривая имеет гистерезисный характер. Второе сечение плоскостью на рис. 16 не показано, а отмечена лишь стационарная точка О. Численное интегрирование системы (2.55) показывает, что точка О неустойчива, и в системе существует устойчивый предельный цикл (см. рис. 16). Можно показать, что аналогичная зависимость скорости реакции от и существует и в случае неаллостерического (изостерического) угнетения субстратом если в выражении (1.102) взять достаточно малое значение константы