2.6. Эквивалентные математические и кинетические модели

Математически сходство динамического поведения различных систем, имеющих гистерезис квазистационарной характеристики, можно интерпретировать как простое следствие эквивалентности их математических моделей. Например, если для описания кинетики действия фермента катализирующего реакцию

или реакцию

использовать уравнение вида (2.42), то математические модели этих реакций будут иметь тот же вид, что математическая модель (2.36) реакции (2.32). Если же фермент в реакциях (2.57) и (2.58)

имеет олигомерную структуру и кинетика его действия описывается более сложным уравнением (2.54) или еще более сложным уравнением (1.102), то математические модели этих реакций, хотя и отличаются от модели (2.36) реакции (2.32) видом своих правых частей и количественными характеристиками взаимоотношений между переменными, все же остаются топологически эквивалентными более простой модели (2.36). Под топологической эквивалентностью здесь подразумевается одинаковое строение параметрических и, следовательно, фазовых портретов моделей.

Очевидно, что усилия, затрачиваемые на анализ новой, еще не изученной биохимической системы, можно резко сократить, если доказать, что ее математическая модель эквивалентна более детально изученной модели. В таком случае все свойства более полно изученной модели автоматически распространяются на новую модель. Таким образом, наиболее детально изученная модель некоторого множества эквивалентных моделей может служить эталоном, с которым сравниваются другие менее изученные модели, принадлежащие этому множеству.

Приведение данной модели к эталонной может быть осуществлено с помощью соответствующей замены переменных [72]. Так, например, математическую модель открытой реакции с продуктной активацией порядка

имеющей в безразмерных переменных вид [80—84]

где

с помощью простой замены переменных

можно привести к эквивалентной форме

где

Новую переменную можно рассматривать как концентрацию субстрата некоторой эквивалентной реакции

в которой ингибитор фермента связанный законом сохранения с продуктом полная концентрация Правда, выражение (2.64) для безразмерной скорости реакции (2.65) является «нехимическим» — оно предсказывает при Однако этот недостаток легко устраняется малым возмущением уравнения (2.64) с помощью малого параметра

Это уравнение описывает гиперболическую зависимость скорости от концентрации и кривую с максимумом характерную для субстратного угнетения.

Из-за малости модели (2.63), (2.64) и (2.63), (2.66) имеют почти совпадающие фазовые портреты, различия существуют лишь в малой -полосе, примыкающей к оси Поэтому параметрические портреты этих моделей, построенные в плоскости параметров не только топологически эквивалентны, но даже количественно почти совпадают. А так как модель (2.63) с уравнением для скорости реакции (2.66) с точностью до обозначений совпадает с эталонной моделью (2.36), то ее можно считать топологически эквивалентной эталонной модели.

Простейшие из эквивалентных моделей целесообразно использовать для замещения более сложных при моделировании полиферментных систем. При этом подгонкой параметров легко добиться хорошего количественного совпадения между моделью-объектом и моделью-заместителем. В работе [85], например, показано, что феноменологическая модель (2.60) с высокой точностью замещает существенно более сложную модель реакции (2.59), катализируемую олигомером [86].

В дальнейшем кинетические модели, описываемые топологически эквивалентными математическими моделями, будем называть эквивалентными. Эквивалентными будем называть и регуляторные связи, если они принадлежат таким кинетическим моделям. Так, например, только что было показано, что кинетические модели (2.59) и (2.65) описываются топологически эквивалентными моделями. Следовательно, эти кинетические модели и их регуляторные связи — субстратное угнетение в модели (2.65) и продуктная активация в модели (2.59) — также эквивалентны.