2.3. Модель двухсубстратной реакции с субстратным угнетением

Многие ферментативные реакции, как, например, реакции, протекающие с участием кофакторов АТФ или НАД, являются двухсубстратными. Поэтому после рассмотрения простейшей схемы субстратного угнетения в односубстратной реакции (2.12) целесообразно перейти к анализу реакции, число субстратов которой равно двум, а именно

где субстраты, продукты, фермент, скорость реакции, — скорость притока скорость регенерации Предположим, что суммарный пул постоянен

а скорости имеют вид:

В качестве выражения для скорости реакции возьмем выражение (1.44). Схема (2.32) описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Здесь учтены соотношения (2.33) и выражения для скоростей (2.34). После обезразмеривания модели (2.35) получаем

где

Рис. 11. Семейство квазистационарных входных характеристик реакции (2.32) при и различных значениях (цифры на кривых)

Константы имеют тот же смысл, что и в формуле (1.44). Из уравнения

и формулы для можно получить следующее выражение для квазистационарной входной характеристики

где

На рис. 11 показано изменение формы входной характеристики при изменении значения параметра При сохраняется гистерезисная форма кривой, поэтому для упрощения анализа можно считать, что Тогда математическая модель принимает вид

где

Для анализа числа стационарных состояний можно воспользоваться следующим приемом. Приравняем правые части системы (2.41) к нулю, найдем из второго уравнения и подставим в первое. Получаем

В уравнении (2.43) число перемен знака в ряду коэффициентов равно трем. Поэтому уравнение должно иметь не более трех положительных корней. Следовательно, система (2.41) может иметь

(кликните для просмотра скана)

три, два или одно положительные стационарные состояния. В случае, если уравнение (2.43) имеет два корня, они могут быть кратными.

Условие кратности можно записать в виде

Рис. 13. (см. скан) Фазовые портреты модели (2.36) реакции а — устойчивый предельный цикл при неустойчивый предельный цикл

Из этой системы при получаем параметрическое задание линии моностационарности для плоскости

где стационарное значение является свободным параметром. Те же уравнения (2.45) получаются, если линию моностационарности находить из условия Линия нейтральности задается формулами

На рис. 12 показан параметрический портрет системы (2.41), на котором помимо линий моностационарности (2.45) и нейтральности (2.46) нанесена граница Этот портрет топологически эквивалентен портрету реакции (2.12) (см. рис. 9). Кроме того, бесконечность модели (2.41) неустойчива, как и модели (2.16). Действительно, приняв в первом уравнении получаем, что со временем должно уменьшаться.

Рис. 13. (окончание)

Из второго уравнения следует уменьшение при На осях фазовые траектории направлены внутрь положительного квадранта. Поэтому в случае неустойчивости стационарных состояний «стоком» для фазовых траекторий служит устойчивый предельный цикл (рис. 13, а).

Более детальный анализ бифуркаций в модели (2.41) возможен с использованием третьего приближения. Из разложения правых частей системы общего вида (2.1) Баутиным [74] получены формулы для вычисления третьей фокусной величины от которой зависит устойчивость сложного фокуса. При сложный фокус неустойчив, при он устойчив, а при фокус характеризуется значением следующей не равной нулю фокусной величины Если представляющая точка параметрического портрета отклоняется от линии нейтральности, то из сложного фокуса рождается предельный цикл, устойчивость которого совпадает с устойчивостью сложного фокуса. Численное решение уравнения совместно с системой (2.46) дает две точки линии нейтральности (точки на рис. 12, а), между которыми на остальных участках Интегрированием системы (2.41) при значениях параметров, лежащих вблизи линии нейтральности, получен ряд фазовых портретов с родившимися предельными циклами (рис. 13, б - г). Эти портреты свидетельствуют о разнообразном динамическом поведении даже сравнительно простых ферментативных реакций.