2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЗБУДИМЫХ МЕМБРАН

Глава четвертая. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ МОДЕЛЕЙ МЕМБРАН

На основе записей ионных токов при фиксации потенциала Ходжкин и Хаксли построили феноменологическую модель мембраны аксона кальмара в виде системы дифференциальных уравнений четвертого порядка [1]. Эта модель до сих пор является одним из наиболее точных описаний процессов возбуждения в мембране. Впоследствии были построены аналоги уравнений Ходжкина — Хаксли и для других возбудимых мембран: волокна Пуркинье сердца [2, 31, перехвата Ранвье [4], скелетного мышечного волокна [5] и др.

Модель Ходжкина — Хаксли и ее аналоги — сложные нелинейные системы не ниже четвертого порядка. Отсутствие аналитических подходов к изучению в таких моделях вопросов, представляющих интерес для электрофизиологии, в значительной степени сводило исследование модели Ходжкина — Хаксли на уровень численного эксперимента на ЦВМ [6—13].

Важный шаг в применении качественных методов для исследования моделей возбудимых мембран сделан в работе . Им показано, что основные типы поведения мембран могут быть описаны на основе уравнений Ван дер Поля. Однако эти модели слишком абстрактны — они исходят лишь из самого факта существования -образной характеристики и не связаны с ионными токами реальных мембран. Для того чтобы получать более содержательное описание, необходимо исходить из данных экспериментального исследования мембран.

В главах 4, 5 описывается подход, сочетающий преимущества качественных методов математического анализа с детальным электрофизиологическим исследованием мембраны по записям ионных токов. В основе этого подхода лежит построение уравнений второго порядка и их анализ с помощью качественных методов, разработанных в теории колебаний. В частности, многие из интересующих экспериментатора сведений о мембране содержатся в одном простом графике — двух главных изоклинах уравнений мембраны — изоклинах мембранный потенциал, проводимость для медленной компоненты ионного тока).

Поскольку нуль-изоклины для релаксационной системы определяют ее фазовый портрет, то мы далее будем называть этот график фазовым портретом мембраны. Главы 4 и 5 посвящены в сущности построению фазового портрета мембраны и решению с его помощью самых различных задач. Глава 4 отражает постановку задачи в виде, обычном для теоретика — здесь исходными считаются заданные уравнения мембран. В главе 5 анализ проводится с точки зрения экспериментатора.

В главе 4 с помощью разделения быстрых и медленных движений уравнения мембран упрощаются до уравнений второго порядка. Анализ их фазовых портретов позволяет исследовать многие электрофизиологические характеристики моделей мембран, которые ранее изучались лишь численными методами. Этот подход демонстрируется на двух конкретных примерах — модели аксона кальмара и модели сердечного волокна, являющимися в некотором смысле «крайними»: большинство реальных возбудимых мембран обладает характеристиками, промежуточными между ними.

В главе 5 этот подход применяется уже не для анализа моделей, а для исследования реальных мембран. Здесь исходными считаются записи ионных токов, получаемые экспериментатором. В этом случае анализ оказывается особенно простым — для решения многих вопросов построения уравнений мембраны (даже уравнений второго порядка!) оказывается излишним. Основной инструмент анализа — графики нуль-изоклин строятся по записям токов.

Перейдем теперь к анализу уравнений мембран.