4.1. Построение уравнений второго порядка для моделей Ходжкина — Хаксли и Побла

Построение систем второго порядка для возбудимых мембран основано на разделении быстрых и медленных переменных. Понижение порядка достигается за счет исключения дифференциальных уравнений для быстрых компонент. Строгое обоснование этой процедуры дано в работах [14—17]. Ее применение для сведений уравнений типа Ходжкина — Хаксли к системам второго порядка проще всего проследить на примере уравнений Нобла.

Построение системы N2 по уравнениям Нобла

Модифицировав уравнения Ходжкина — Хаксли так, чтобы они описывали волокно Пуркинье, Нобл [2] получил систему четвертого порядка:

Здесь потенциал мембраны, переменные активации и инактивации натриевой проводимости, переменная активация калиевой проводимости. Функции определяемые экспериментально установившиеся значения соответствующих переменных; их постоянные времени, внешний ток. Константы равновесные потенциалы натриевого и калиевого токов и тока утечки. Константы и функция имеют смысл максимальных проводимостей токов, С — удельная емкость мембраны.

Для упрощения анализа воспользуемся тем, что переменные оказываются быстрыми по сравнению с переменной Сделаем замену времени где Тогда второе и третье уравнения системы (4.1) примут вид: где Перейдя к пределу при и заменив переменные и А их квазистационарными значениями те и (правомерность такого перехода обосновывается теоремой Тихонова [14]), получим систему второго порядка:

Полученная система (4.2) все еще релаксационна: переменная гораздо более быстрая, чем Несмотря на это, переменную из системы (4.2) исключить аналогично переменным нельзя, так как первое уравнение не удовлетворяет условию устойчивости теоремы Тихонова. Тем не менее релаксационность полученной системы обеспечивает простоту и точность ее анализа качественными методами. Поскольку уравнения системы (4.2) получены за счет пренебрежения постоянными времени то они правильно описывают процессы лишь на больших временах: При замене быстрый натриевый ток оказался уменьшенным (замененным на свое квазистационарное значение, соответствующее стационарной инактивации), и соответственно уменьшилась степень релаксационности модели. Введя в первое уравнение системы (4.2) регулирующий релаксационность множитель а перед и положив можно улучшить и описание быстрых движений. Полученную таким образом систему далее будем называть системой

Любопытно, что Зиман [18] доказал теорему о том, что моделями второго порядка нельзя описать возбуждение сердечных клеток, а для этого требуется система мьнимум третьего порядка (чтобы описать нерелаксационный (гладкий) возврат к состоянию покоя). Этот вывод был получен при анализе систем с фиксированным малым параметром. Но при редуцировании уравнений Нобла возникает система другого вида — в ней оставшийся малый параметр не фиксирован, а является функцией переменных!

Построение системы Н-Н2 по уравнениям Ходжкина — Хаксли

В уравнениях Ходжкина — Хаксли медленными переменными являются и между имеется приближенное соотношение

Упрощение уравнений Ходжкина — Хаксли оказывается несколько отличным от упрощения уравнений Нобла. Формально все сводится к тому, что переменная заменяется на (как и в уравнениях Нобла), а переменная заменяется на и из исходных уравнений Ходжкина — Хаксли

получается система

Здесь в отличие от уравнений Нобла фронты импульсов оказываются ускоренными, и улучшить описание быстрых процессов можно, положив Эту систему (при далее будем называть системой (обоснование этого перехода см. в разделе 4.5).

Точность аппроксимации

Близость решений исходных и редуцированных систем при гарантирует теорема Тихонова. Теорема дает основание ожидать хорошего соответствия и для ненулевых значений малых параметров. Однако величина возникающей при этом ошибки может быть определена только численными методами.

Таблица 1 (см. скан) Сравнение электрофиаиологических характеристик модели Ходжкина — Хаксли и построенной по ней редуцированной модели

Таблица 2 (см. скан) Границы изменения параметров, при которых наблюдаются автоколебания в модели Ходжкина — Хаксли и редуцированной модели

Рис. 29. Решения исходной системы Ходжкина — Хаксли и модели второго порядка а — одиночные потенциалы действия; б - повторные ответы при внешнем токе

Рис. 30. Потенциалы действия в исходной модели Нобла и системе второго порядка

Различные электрофизиологические характеристики модели Ходжкина — Хаксли и полученной из нее системы приведены в табл. 1,2. Расчеты показали также, что стационарные вольт-амперные кривые обеих моделей различались не более чем на в диапазоне токов от —10 до характерные

Таблица 3 (см. скан) Сравнение электрофизиологических характеристик модели Нобла и построенной по ней редуцированной модели

времена заряда емкости мембраны отличались не более чем на во всем диапазоне потенциалов; тип аккомодационной кривой совпадал в обеих системах; ответ на выключение гиперполяризующего тока наблюдался в обеих системах.

Аналогичные оценки были получены и для модели Нобла (рис. 30, табл. 3, 4).

Таблица 4 (см. скан) Границы изменения параметров, при которых наблюдаются автоколебания в модели Нобла и редуцированной модели

Эти оценки показали, что построенные системы второго порядка описывают электрофизиологические характеристики мембран с хорошей точностью (10—15% для модели Ходжкина — Хаксли и для модели Нобла), и поэтому имеет смысл анализировать характеристики мембран с помощью этих упрощенных уравнений. Перейдем к исследованию мембран качественными методами.