1.3. Метод графов

При выводе уравнений скоростей ферментативных реакций используется ряд упрощающих допущений. В частности, как правило, принимают, что ферментативная реакция протекает в условиях идеального перемешивания, термо- и рН-статирования и что в реакции очень быстро устанавливается квазистационарное состояние (см. раздел 2.1), в котором все промежуточные формы фермента находятся в равновесии друг с другом. Приставка «квази» означает, что лишь часть переменных достигает стационарных значений, тогда как остальные продолжают медленно меняться. Использование допущения о достижении частью концентраций (биохимической системы квазистационарных значений известно в литературе как метод Боденштейна — Семенова [35, 36]. Этот метод позволяет резко упростить анализ (био)химических систем. Вместо решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих изменение промежуточных веществ в ходе реакции, в соответствии с этим методом удается решать лишь системы алгебраических уравнений, связывающих друг с другом

квазистационарные концентрации промежуточных веществ. Основная причина, из-за которой в ферментативной реакции устанавливается квазистационарное состояние, заключается в том, что концентрация фермента обычно на несколько порядков меньше, чем концентрации субстратов, взаимодействующих с ферментом [44, 45].

Как правило, системы алгебраических уравнений, описывающих квазистационарные состояния ферментативных реакций, линейны, так как взаимопревращения между промежуточными формами и комплексами представляются мономолекулярными реакциями. Поэтому для определения квазистационарных концентраций промежуточных веществ используются методы линейной алгебры. В последние годы для этой цели стали широко применяться методы теории графов [2, 46, 47].

Графом ферментативной реакции называется совокупность узлов, соответствующих квазистационарным концентрациям всех ферментных комплексов и соединяющих их направленных ветвей, характеризуемых некоторой величиной равной константе скорости превращения При этом называемая величиной или передачей ветви, может быть функцией концентрации вещесгва, участвующего в данном превращении. Концентрация этого вещества считается в квазистационарном состоянии постоянной.

Например, ферментативная реакция

протекающая через промежуточное образование двух фермент-субстратных комплексов

может быть представлена в квазистационарном состоянии графом, имеющим три узла и шесть направленных ветвей. На графе (1.11) указаны величины ветвей; две из них зависят от концентраций считающихся в квазистационарном состоянии постоянными.

Деревом графа, направленным в узел, называется незамкнутая совокупность ветвей, направленных от всех узлов графа к узлу. Дерево не имеет замкнутых или параллельных последовательностей. Величиной дерева называется произведение величин всех его ветвей. Например, узлы графа (1.11) имеют следующие деревья (их величины приведены):

(см. скан)

Так как в исходном графе имеется вся информация, необходимая для расчетов, при вычерчивании деревьев обычно не используют обозначения узлов и величин ветвей. Более того, при достижении некоторого навыка величины деревьев выписывают прямо по исходному графу — без вычерчивания деревьев.

Совокупности (на стр. 24) не являются деревьями узла так как а представляет собой замкнутую последовательность ветвей (цикл), имеет две параллельные последовательности ветвей соединяющих узлы и в имеет цикл ветвь направлена от узла в узел не связан с узлом

Базовым определителем узла называется сумма величин всех деревьев, направленных в узел — базу. Определителем графа называется сумма всех базовых определителей графа. Например, определителями узлов и в графе (1.11) являются следующие суммы величин деревьев (1.12):

(см. скан)

а определитель этого графа равен сумме трех базовых определителей:

Начальная квазистадионарная скорость ферментативной реакции выражается через определители графа реакции [2,47] следующим образом:

где константа скорости образования или связывания продукта узлом базовый определитель узла полная концентрация фермента. При вычислении в случае обратимого образования продукта используется следующее соглашение о знаках: если узел выбрасывает продукт, и если узел связывает продукт.

Например, для графа (1.11) по формуле (1.14) следует записать

Первый член в числителе положителен, так как распад освобождает а второй член отрицателен, так как связывается с

Квазистационарные концентрации промежуточных комплексов находятся по формуле

Так, в графе (1.11) концентрации свободного фермента и комплексов определяются выражениями

Используя некоторые особенности структуры графа, его можно упростить [47]. Например, несколько ветвей, соединяющих узлы можно слить в одну с величиной

Симметричные узлы с равными величинами ведущих от них ветвей можно слить в один узел. При этом концентрация комплекса, соответствующего образовавшемуся от слияния узлу, равная сумме концентраций исходных комплексов, а величины ветвей, ведущих к новому узлу от узлов равны:

Определитель направленного графа, состоящего из двух подграфов имеющих одну общую точку можно найти по правилу

где базовые определители общего узла подграфов а и определители этих подграфов.

Стоит обратить внимание на то, что графы каталитических и, в частности, ферментативных реакций отличаются от обычных топологических графов, широко используемых в различных приложениях [48—51]. Это отличие обусловлено двумя особенностями (био)химических графов: во-первых, для каждого узла химического графа выполняется закон сохранения массы — сумма токов, сходящихся в узле, должна быть равна нулю, а, во-вторых, узловые переменные (концентрации) также связаны законом сохранения — сумма всех узловых концентраций равна полной концентрации фермента Поэтому все правила преобразований обычных графов неприложимы к химическим графам без их переформулировки.