Глава 4. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ

Человеческий разум перед вечной дилеммой:

Совершенство бытия иль совершенство труда?

У. Б. Йейтс

Хотя мы стремимся рассматривать время как непрерывную переменную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накапливания данных на регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную , которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от 0 до . Выбран именно этот интервал, а не или в соответствии с общепринятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стандартную форму

Функция может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

Дискретное преобразование Хартли

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями

где, как и выше, используется обозначение введенное Хартли.

Для получения обратного ДПХ воспользуемся свойством ортогональности

Подставляя величину определяющую преобразование в выражение , получим

что подтверждает справедливость обратного преобразования.

Коэффициент в ДПХ заимствуется из практики использования ДПФ, для которого величина равна постоянной составляющей функции другими словами, ДПХ является симметричной процедурой. Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразованием, так как вещественной является функция