Двумерная фильтрация

Обработка двумерных цифровых изображений также оказывается выигрышной при осуществлении вещественного преобразования. Изображение представляемое в виде матрицы размера обладает двумерным дискретным преобразованием Хартли также имеющим вид вещественной матрицы размера . Прямое и обратное преобразования при этом соответственно равны:

Двумерная пространственная частота описывает имеющую наклон функцию в которой -число циклов, приходящихся на единицу в направлении восток-запад, и число циклов на единицу в направлении север-юг.

Свойства двумерного дискретного преобразования, включая теорему о свертке, являющуюся основой цифровой фильтрации изображений, вытекают из таблиц, приведенных в следующей главе. Большей частью соотношения между двумерными непрерывным и дискретным преобразованиями аналогичны соответствующим соотношениям для одномерного случая. Однако интерпретация цикличности, введенной в данной главе, заслуживает особого упоминания.

В одномерном случае переменная изменяется в пределах от 0 до а область значений может быть изображена в виде прямолинейной решетки, состоящей из N равноотстоящих точек. Однако эту область можно также представить в виде кольца из N точек; преимуществом такого представления является то, что при этом приобретают смысл значения меньшие нуля и большие Тогда значения, присваиваемые функции какого-либо целочисленного аргумента определяются выражением

Для двумерного случая можно принять ту же схему рассуждений и записать

Таким образом, для точка с координатами на плоскости не принадлежит прямоугольной области, содержащей точек, упорядоченно распределенных по столбцам и строкам. Однако некоторое значение все же можно присвоить функции . Замечая, что а присвоим этой функции значение Данный нюанс касается только техники численных расчетов, выполнение которых возложено на ЭВМ, однако с целью анализа получаемых при этом результатов целесообразно помнить о пространственной топологии, соответствующей изображению кольца на плоскости. Традиционный рецепт заключается в следующем: свернуть прямоугольную область в цилиндр так, чтобы, скажем, ее верхняя и нижняя строки совместились друг с другом, а затем согнуть цилиндр до получения тороидальной поверхности путем совмещения его левой и правой кольцеобразных кромок. Так, на рис. 6.1 цилиндрическая поверхность получена касанием пар точек А и , а в результате сгибания цилиндра и контакта кольцеобразных краев и получен тор. Процедуру сгибания цилиндра в тор наиболее сложно изобразить, а исходные квадратные ячейки, полученные из точек прямоугольной области, не могут оставаться при этом равносторонними. В тороидальной шахматной игре игроков не беспокоит, что их

Рис. 6.1. Пространство тороидальных шахмат в виде пространства . Точка в кружке (34, —5) в случае матрицы размера соответствует точке (2, 11).

шахматная «доска» имеет форму тора; они знают, что белый слон (рис. 6.1) может перемещаться по диагонали, обозначенной короткой стрелкой, а при достижении правого края «доски» может продолжать движение так, как это показано более длинной стрелкой. Это довольно рискованная игра. Белая ладья угрожает черной ладье, а конь всегда имеет в своем распоряжении восемь возможных ходов независимо от его положения на шахматной «доске»; таким образом, белый конь, возможные ходы которого обозначены точками, может быть угрозой черной ладье. Это наилучший способ, с помощью которого можно себе представить пространство и это как бы биологическая клетка, размеры которой ограничены координатами , воспроизводящаяся до бесконечности в обоих направлениях.