Теоремы

Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дискретного преобразования Хартли. Для полноты представления материала в табл. 4.3 и 4.4 даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции, одиако рассмотрение последних будет отложено до следующей главы. На данном этапе достаточно сделать замечание, что свертка функций непрерывного аргумента, обозначаемая символом отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ

Можно отметить, что среднее значение последовательности определяется величиной значение ее среднего квадрата равно

Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются

Таблща 4.3. Теоремы для операций при дискретных преобразованиях

Таблица 4.4. Теоремы для соотношений между дискретными преобразованиями

точным соответствием, как, например,

тогда как в других случаях имеют место различия.

Теорема о зеркальном изображении. Если из последовательности сформировать ее зеркальное изображение , то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а остальные элементы изменят порядок следования на обратный. Таким образом, вместо элемента исходной последовательности имеем член , который интерпретируется как и равен , т. е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности имеем что в области преобразования соответствует замене вида .

Теорема сложения. Свойство суперпозиции, иллюстрируемое теоремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ.

Теорема о сдвиге. Сначала рассмотрим пример, в котором реализуется единичный сдвиг последовательности имеющей ДПХ вида . В соответствии с теоремой о сдвиге для имеем последовательность для которой ДПХ равно

где

Для выполнения данной операции сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством цикличности перемещается на первую позицию.

ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синусными и косинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображение - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказательства теоремы о сдвиге подставим в формулу,

определяющую прямое ДПХ, и получим

Теорема о свертке. В общем случае преобразование свертки содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения и смешанные произведения . С использованием этих обозначений имеем

Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре действия умножения. Теперь если — четная функция (т. е.

Точно так же простую формулу получим в случае, когда является нечетной функцией; при этом имеем

Вследствие коммутативности если либо либо являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе.

Теорема о произведении. В теореме о произведении четыре компоненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.

Теорема о растяжении. Сходство этой теоремы с соответствующей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда преобразуется в Так как величина Т может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяжение, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения масштаба также имеют практическое значение, например когда последовательность регулярных измерений должна быть повторена с большей или меньшей скоростью. Функция определена для любого Тпри заданной но это утверждение несправедливо для при заданной функции где Следовательно,

применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению масштаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере.

Пусть последовательность имеет последовательность ДПХ . Тогда последовательности соответствует последовательность ДПХ вида

В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ:

Убеждаемся в том, что при имеем При нечетном сумма равна нулю, для четного эта сумма сводится к выражению: для которого обратное преобразование Хартли имеет вид: