Симметрия и антисимметрия

Заданная функция может быть представлена в виде суммы симметричной и антисимметричной компонент:

где

Данное разложение на компоненты является двумерным обобщением процедуры разложения функции одной переменной на четную и нечетную компоненты. Вещественная часть одномерного преобразования Фурье является четной функцией, а мнимая - нечетной, в то время как вещественная часть двумерного преобразования Фурье представляет собой симметричную функцию, а мнимая - антисимметричную функцию. Из сказанного следует, что вещественное двумерное преобразование Хартли, выражаемое как в полной мере представляется как совокупность симметричной и антисимметричной компонент.

Для получения приведенного выше обратного преобразования определим двумерное преобразование Хартли от преобразования

Пусть равна преобразованию Хартли функции которое в свою очередь равно разности

Теперь имеем: так как симметрична. По аналогии получаем: от Таким образом,

что и требовалось доказать.