Цикличность для двумерного случая

Обобщение дискретного преобразования на двумерный случай не приводит к каким-либо неожиданностям, за исключением, возможно, свойств цикличности. По аналогии с одномерным вариантом мы приняли, что и для двумерного случая имеем

Это не приводит к каким-либо трудностям математического характера, а топология может быть ясно представлена, если обратиться к тороидальной поверхности, являющейся обобщением кольца, используемого в одномерном варианте. Однако имеется возможный источник путаницы, связанный со схемой индексации, что может оказаться настоящей западней для начинающих.

Предположим, что должно быть осуществлено сглаживание цифрового изображения путем свертки со следующей матрицей коэффициентов:

Коэффициент 1/256 гарантирует отсутствие усиления компонент, имеющих низкие пространственные частоты. Понятно, что центральный элемент, равный 36, размещается в выбранном элементе изображения, так что коэффициенты умножаются на соответствующие элементы исходной последовательности, а затем производится суммирование полученных произведений и запись результата в выбранный элемент изображения. При переходе к представлению этой простой процедуры с помощью двумерной свертки с цифровой последовательностью центральный элемент будет иметь индексы . Следовательно, матрица размера представляющая сглаживающую функцию, имеет вид (незаполненное пространство соответствует наличию одних только нулей):

Данная структура кажется до такой степени несимметричной и странной людям, которые интуитивно чувствуют необходимость наличия сцентрированной матрицы, что их разум протестует. Тем не менее другой способ реализации процедуры означал бы сдвиг исходного цифрового изображения.

Другое соображение практического характера, которое может быть тесно связано с цикличностью, возникает в случае, когда сглаживающая матрица не обладает свойством симметрии. Например, предположим, что какая-то система регистрации изображений обладает астигматизмом, вследствие чего точечный объект приводит к формированию асимметричного отклика

центр тяжести которого, как очевидно, смещен вправо и вверх. С матрицей какого вида должна быть осуществлена свёртка изображения протяженного объекта, чтобы получить изображение, для которого обнаруживается эффект астигматизма? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала выполним поворот заданной матрицы на 180°, что необходимо для учета двух знаков «минус», фигурирующих в определении свертки для двумерного преобразования. Затем, как и выше, поместим центральный элемент, значение которого равно 36, на позицию с координатами (индексами матрицы) . Таким образом, матрица, которая должна использоваться в формуле свертки, имеет вид