Глава 5. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ СВЕРТКИ

Мгновенно я увидел: 987654321 х 81 = 80000000001, поэтому я умножил число 123 456 789 на результат предыдущей операции - дело несложное, - а затем разделил на 81. Ответ оказался равным 121 932 631 112 635 269. Вся процедура заняла вряд ли более чем полминуты.

R.J. Aitken. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 1968. (Эйткен выполнил умножение 987 654321 на 123 456 789 по просьбе своих детей.)

Фильтрация-общепринятый термин из области электротехники и радиотехники, описывающий селекцию желаемой полосы частот в обрабатываемом сигнале. Подобно тому как фильтр можно представить себе в виде устройства, пропускающего определенную полосу частот и подавляющего другие частоты, правомерно представить фильтр как устройство, выполняющее соответствующие операции над колебанием во временной области и видоизменяющее его требуемым образом. Такая же дуальность свойственна методам вычислений. При наличии в потоке данных шумов, которые должны быть подавлены, этот поток сначала может быть преобразован в область спектрального представления с последующей заменой нулями компонент на нежелательных частотах, а затем возможен обратный переход в область данных с помощью обратного преобразования. С другой стороны, тот же самый результат может быть непосредственно получен в области данных путем свертки исходных данных с соответствующей фильтрующей последовательностью, что в принципе не требует анализа в частотной области.

Метеорологические данные, в структуре которых должны быть подавлены сезонные флуктуации с целью регистрации и отображения климатических изменений (климатического тренда) за вековой период, традиционно подвергались обработке путем свертки последовательности ежемесячно регистрируемых данных с 13-элементной последовательностью , что представляет собой процедуру низкочастотной фильтрации. Если мы вычтем сглаженный климатический тренд из исходных ежемесячных данных, то в чистом виде получим сами флуктуации, свободные от медленных годовых изменений (дрейфа). В результате эта операция представляет собой подавление низкочастотных составляющих, и, если необходимо, она может быть реализована как одноэтапная процедура свертки с последовательностью . Эти два примера показывают,

каким образом может видоизменяться частотный спектр сигнала при выполнении свертки непосредственно в области данных.

При использовании электронных фильтров, представляющих собой, например, совокупность электролитических конденсаторов, резисторов и дросселей, как в телевизионных приемниках для уменьшения помех по цепям питания, не удается полностью подавить паразитные колебания. Подобная ситуация возникает при осуществлении цифровой фильтрации потоков данных. Поэтому важной задачей являются изучение и анализ характеристик и ограничений цифровой фильтрации.

Интересно отметить, что способ фильтрации непосредственно с помощью свертки может оказаться и не самым быстрым. Таким образом, выбор процедуры является другой важной темой. Когда поток данных имеет достаточно большую протяженность, могут оказаться оправданными переход в область преобразования и работа в частотной области. Однако имеется и другое соображение, касающееся числа элементов последовательности, подвергающейся свертке, при этом возникает вопрос: целесообразно ли осуществлять преобразование последовательности 1000 месячных измерений, которые подлежат сглаживанию, и затем выполнять операции над получившимся спектром с последующим переходом в исходную область путем обратного преобразования, вместо того чтобы выполнять достаточно простые операции умножения и сложения в процессе свертки с вышеупомянутой 13-элементной последовательностью?

К этому и другим вопросам мы и обратимся в данной главе.