Преобразование Хартли

В определение Хартли для преобразования в явном виде был включен коэффициент для получения симметричного выражения. Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновременно не могут быть корректными. Однако следует признать нецелесообразным сохранение пары таких специфических коэффициентов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразованию Фурье рассмотрением функции вместо . В результате коэффициент исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент . Таким образом, эти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для памяти, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференциал что означает наличие величины вида т. е. циклической частоты Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей. Приверженцев использования коэффициента в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи но общепринятой практикой является применение множителя под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты вместо угловой частоты При этом имеем

Далее будет рассматриваться как преобразование Хартли функции которая в свою очередь является обратным преобразованием Хартли функции Естественно, прямое и обратное преобразования неразличимы.

Определенное здесь преобразование Хартли несколько отлично от исходного преобразования Хартли Однако, кроме как для исторической справки, вряд ли возникнет необходимость упоминать и вряд ли целесообразно именовать преобразованием Хартли. Видимо, такие терминологические различия - это все, что необходимо. Вводя новые обозначения, мы добиваемся согласования с общеупотребимыми терминами, используемыми в преобразовании Фурье, что далее будет распространено и на дискретные преобразования.

Для сравнения приведем соотношения для преобразований Фурье, записанных с помощью вышеупомянутых обозначений: