Быстрое вычисление синусов

Табулирование синусов, аргументы которых составляют долю окружности единичного радиуса, не является достижением сегодняшнего дня, а было достаточно развито еще 1800 лет назад Птолемеем. Более эффективная процедура вычисления синусов по сравнению с использованием встроенных программ, реализуемых разработчиками ЭВМ, может быть изучена исходя из опыта предыдущих столетий.

Идея Птолемея заключалась в переходе от грубого к точному разбиению окружности. Из теории правильных многоугольников известно, что длины хорд, стягивающих дуги с центральными углами 60 и 12°, соответственно равны , где - длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом для окружности единичного радиуса. Согласно изящной теореме Птолемея, длина хорды, соответствующей разности заданных центральных углов, может быть получена из соотношения

эквивалентного выражению

По известным значениям Птолемей мог, таким образом, оценить , а также длины хорд для центральных углов, кратных 12°. Получающаяся при этом таблица эквивалентна таблице, составленной из синусов углов, кратных 6°.

В соответствии с теоремой Птолемея утверждается, что для четырехугольника произвольной формы (рис. 8.6), вершины которого лежат на окружности с центром О, имеет место равенство Для четырехугольника, имеющего прямоугольную форму, как частный случай получаем теорему Пифагора. При получаем теорему Птолемея для синуса разности углов.

Табличные данные для угла 12° применительно к обозначениям, принятым в этой книге, соответствуют случаю . Для перехода к более мелкому разбиению окружности Птолемей ввел в рассмотрение метод, эквивалёнтный методу определения длины хорды,

Рис. 8.6. Теорема Птолемея: AC•BD = AB•CD+AD•BC.

стягивающей половину дуги:

который позволил получить результаты вплоть до угла 0,75° и кратных ему значений, что соответствует N = 480. Этот метод не пригоден для углов, кратных 1°. Однако Птолемей исходил из неравенства

Таким образом,

С учетом того, что из системы этих двух неравенств можно заключить:

Так как различие правой и левой частей начинает проявляться с шестого десятичного знака, это грубое приближение, но можно повысить точность вычислений, развив метод Птолемея.

Интересным представляется вывод для хорды, стягивающей дугу 1° (или для ), дальнейшее применение правила разбиения на две равные части позволило Птолемею составить таблицу длин хорд для интервалов, следующих через 0,5° (для синуса - через каждые 0,25°), с точностью до пятого десятичного знака. Так как эта таблица соответствует случаю она отвечает требованиям программ вычисления БПФ, используемых в настоящее время.

Если составление таблицы начать с элементов т.е. для 0, следующих через интервалы 22,5°, то можно перейти к таблице, составленной из элементов, следующих через 11,25°, путем вычисления синусов каждого из промежуточных значений аргумента 0 исходя из определенных значений функции Формула для разности имеет вид

Поправочный коэффициент может быть получен из формулы, определяющей длину хорды, стягивающей половину первоначальной дуги; для этой формулы исходной величиной является: Таким образом:

Эта реккурентная формула используется в программе приведенной в приложении 1.

Составление таблицы косинусов представляет собой отдельный вопрос. В следующем разделе будет показано, что целесообразно располагать таблицей значений При наличии такой таблицы косинусы могут быть получены из соотношения

Однако нет необходимости заранее вычислять косинусы в явном виде, так как вместо этого можно использовать тангенсы половинных углов, что и целесообразно осуществлять на практике.