Каскадные матрицы

После процедуры перестановки выполняется последовательность Р операций, поэтапная реализация которых приводит к окончательному преобразованию. Номера этапов (тактов), которые будем обозначать символом изменяются от 1 до Р. Общая форма представления операторов наиболее наглядно может быть проиллюстрирована в случае путем реализации последнего оператора в качестве первого действия. Примем следующие условные обозначения для функций аргумента, кратного

С использованием этих обозначений четвертая каскадная матрица будет иметь вид

В выражении для данной матрицы опущен индекс всегда равный поэтому вместо присутствует величина С и т. п. В каждой строке приведенной матрицы имеются три ненулевых элемента, а это означает, что в выражение для каждого элемента результирующей последовательности войдут с соответствующими коэффициентами три элемента операнда, т. е. три элемента исходной последовательности, к которой применяется оператор.

Косинусные и единичные элементы матрицы размещены вдоль линий, параллельных ее главной диагонали, а синусные элементы имеют другой тип расположения. В результате независимые переменные в виде элементов операнда после их умножения на синусные коэффициенты изменяют порядок следования на обратный и размещаются в порядке убывания их номеров от до 1. Это свойство называется возвратной индексацией.

Матрица состоит из двух нулевых квадрантов и двух квадрантов, структуры которых аналогичны матрице но в отличие от последней имеют меньшие размеры.

Тем не менее и здесь обнаруживается эффект возвратной индексации

В матрице в силу того, что индекс «3» опущен, используется сокращенное обозначение вместо

Матрицы реализующие более ранние этапы выполнения процедуры преобразования, имеют подобную структуру

(см. скан)

Так как могут принимать только значения и 1, конфигурация матрицы в явном виде не отражает характерных черт структуры общего вида для матриц хотя определенное соответствие и имеется; то же самое справедливо и для матрицы

Для того чтобы показать, каким образом видоизменяются эти матрицы при увеличении N, примем

Тогда матрица будет состоять из двух нулевых квадрантов и двух квадрантов, каждый из которых идентичен матрице полученной для случая . Новая матрица как и следовало ожидать, получается из путем симметричного «растягивания» этой матрицы.

Резюмируя случай отметим, что ДПХ получается из исходной последовательности с помощью соотношения

где матрица дискретного преобразования Хартли сводимая к представлению в виде произведения сомножителей, равна

В общем случае для любого имеем