Числовой пример свертки

Вышеприведенный пример теперь можно использовать для иллюстрации метода преобразования для осуществления свертки.

В табл. 5.1 в первых двух столбцах помещены две последовательности данных подлежащие свертке. В следующих двух столбцах приводятся дискретные преобразования Хартли Пятый столбец содержит произведение , а последний - последовательность которая представляет собой свертку, равную дискретному преобразованию Хартли столбца произведений умноженному на N. Появление коэффициента N обусловлено тем, что в определении ДПХ фигурирует коэффициент Может оказаться более целесообразным умножение на на завершающем этапе вычислений в рамках нормировки, калибровки и других процедур.

Примечательно, что значения приведенные в последнем столбце, отличаются от точных значений. Максимальное расхождение

Таблица 5.1. Процедура свертки

достигает в данном примере 0,0004. Однако приближенный характер результата в принципе свойствен методу с использованием преобразования, вычисляемого с конечной точностью.

В табл. 5.2 представлен пример довольно общего характера. Все четыре произведения, фигурирующие в теореме о свертке, табулированы с использованием обозначения . Предпоследний столбец содержит полусуммы элементов предыдущих четырех столбцов, а значения в последнем столбце представляют собой ДПХ столбца для суммы, умноженное на 8. При анализе столбцов, элементами которых являются произведения четырех видов, становится ясно, что 6-й столбец является зеркальным изображением 5-го столбца со знаком минус, а 8-й столбец - зеркальным изображением 7-го. Отсюда ясно, что нет необходимости выполнять четыре умножения, а достаточно двух. Один способ вычислений состоит в представлении требуемой суммы в виде

что является другой формой записи тождественного выражения, приведенного в данной главе выше.

Подавляющее большинство сверток, реализуемых в численной форме в повседневной практике, требует только упрощенной процедуры, иллюстрируемой с помощью табл. 5.1. В приложении 1 приводится программа реализующая эту свертку с использованием преобразования Хартли. Целесообразнее всего рассматривать эту программу как реализацию циклической свертки, однако она может быть использована и для выполнения обычной свертки путем дополнения данных достаточным количеством нулей для предотвращения наложения. Почти всегда необходимо дополнять одну из двух последовательностей нулями, но при большом количестве дополнительных нулей снижаются преимущества этого метода преобразования. Возможно, что непосредственное суммирование, реализуемое в программах и окажется более быстрой процедурой; проверку достоверности этой возможности следует осуществлять путем сравнения времени машинного счета, когда число элементов более короткой последовательности меньше или сравнимо с логарифмом

Таблица 5.2. Свертка несимметричных последовательностей

(по основанию 2) числа элементов более длинной последовательности.