Примеры

С целью иллюстрации может быть получен ряд частных преобразований.

Усеченная экспонента. В качестве первого примера рассмотрим функцию вида которая в момент времени имеет единичный скачок, а затем монотонно убывает по экспоненциальному закону. В данном выражении фигурирует единичная ступенчатая функция Хевисайда которая определяется следующим образом:

Заметим, что значение функции при не определено. Причина этого заключается в следующем. Рассмотрим две функции которые совпадают с при но в отличие от определены при . Пусть . Тогда разность представляет собой нулевую функцию. Поскольку рассматриваются интегралы, на их величину не влияет выбор какого-либо определенного конечного значения . Имея это в виду, представляется более благоразумным недоопределить

Рис. 2.1. Усеченная экспоненциальная функция и ее преобразование Хартли Очевидны симметрия четной компоненты и ее относительно быстрое убывание (штриховая линия) и симметрия относительно начала координат нечетной составляющей (пунктирная линия). Преобразование Фурье функции имеет вид .

Рис. 2.2. Стробирующая функция и ее преобразование Хартли.

Рис. 2.3. Преобразование Фурье стробирующей функции ; мнимая составляющая изображена штриховой линией.

подынтегральное выражение, чем доопределить его произвольно и тривиально.

Оцениваемый интеграл равен

Очевидно, что четная и нечетная составляющие этого интеграла есть

Полученный результат иллюстрируется на рис. 2.1. Можно

заметить, что не является ни четной, ни нечетной функцией. Минимум функции имеет место при максимум - при и она обращается в нуль при При функция убывает как

Для сравнения с преобразованием Фурье необходим анализ четной и нечетной составляющих преобразования Хартли: четная составляющая показана штриховой линией, а нечетная О (-пунктирной. Для преобразования Фурье имеем

это известный результат, который может быть подтвержден при отдельном рассмотрении. Одна из этих составляющих является четной, а другая - нечетной. вещественная составляющая быстро убывает как тогда как мнимая компонента убывает по абсолютной величине относительно медленно. В результате мнимая компонента доминирует в спектре. Например, при отношение мнимой составляющей к вещественной равно 12,6.

Прямоугольный импульс. В качестве следующего примера рассмотрим сигнал изображенный на рис. 2.2 слева, где -смещенная единичная прямоугольная функция, имеющая свое начало при Стандартная единичная прямоугольная функция, которая часто необходима для стробирования сегментов колебаний, определяется как

Для данного примера имеем преобразование Хартли

которое иллюстрируется на рис. 2.2. Здесь вновь наблюдается отсутствие симметрии. Для сравнения на рис. 2.3 приводится график преобразования Фурье, определяемого выражением

Как обычно, вещественная часть является четной, а мнимая - нечетной функцией.

Единичный импульс. В качестве примера другого рода рассмотрим единичный импульс для момента времени так что

Тогда

Этот результат обусловлен использованием фильтрующего свойства -функции, а именно:

Другими словами, интегрирование произведения единичного импульса (-функции) и данной функции аннулирует («стирает») значения этой исходной функции при всех значениях аргумента, исключая то из них, при котором существует -функция, и восстанавливается исходная функция в точке, где локализована -функция.

Теорема о фильтрующем свойстве -функции может рассматриваться как отправная точка в теории обобщенных функций, что и делается в математическом труде Шварца [L. Schwartz. La Theorie des Distributions, Herman, 1950 (Л. Шварц. Теория распределений)]; при другом подходе теория может быть разработана как следствие предельных операций, позаимствованных из физики. Существуют три математических правила, резюмирующие подход с позиций физических задач, в которых возникают импульсы.

1. Заменить на [Точки в скобках означают наличие совокупности символов. Это дает возможность рассматривать и в общем случае

2. Выполнить интегрирование или другую указанную операцию, что не должно представлять труда, так как может принимать только два значения: 0 и 1.

3. Осуществить в выражении, полученном в результате выполнения предельный переход при

Полученное в результате предельного перехода значение интеграла или другое выражение, содержит Применим эти правила к интегралу, который выше был определен с использованием теоремы

0 фильтрующем свойстве -функции:

Применив правило 1, получим

Пределы интегрирования могут быть изменены, как показано, потому что функция центрирована относительно точки и имеет длительность , таким образом, не равна нулю только в интервале Теперь перейдем к правилу 2:

Рис. 2.4. Преобразование Хартли импульса с критическим затуханием вида

Наконец, используя правило 3, перейдем к пределу при в результате чего, как и выше, получим: Очевидно, применение теоремы о фильтрующем свойстве является менее трудоемким, однако общий подход с использованием приведенных выше трех правил всегда оказывается работоспособным и легким в практическом применении.

Импульс с критическим затуханием. Колебание известно как импульсная характеристика резонатора с критическим затуханием, т. е. резонатора, затухание которого не столь мало, чтобы импульсная характеристика превосходила определенный уровень, и не столь велико, чтобы было невозможно оценить инерционные характеристики системы. В данном случае (рис. 2.4) имеем

При выполнении интегрирования целесообразно использовать таблицы интегралов. Другой подход заключается в применении известных теорем. Например, при известном преобразовании колебания можно непосредственно получить преобразование функции . В следующей главе для справки приводится ряд основных теорем.