Низкочастотная фильтрация

Пример низкочастотной фильтрации был упомянут в начале данной главы при рассмотрении вопроса, связанного со сглаживанием метеорологических данных. Эта процедура должна заключаться в реализации свертки с прямоугольной, функцией, содержащей 12 элементов, следовательно, результат будет получен с помощью фильтра, имеющего передаточную функцию вида . Так как понимание простого случая такого рода представляется достаточно полезным, мы подробно проанализируем соответствующий пример. Предположим, что ежемесячно фиксируемые данные, зарегистрированные за 8 лет, должны быть подвергнуты сглаживанию посредством свертки с последовательностью . Так как всего имеется 96 элементов и 13 коэффициентов фильтра, сглаженная последовательность содержит 108 элементов. Естественно, для данного примера первые шесть и последние шесть элементов выходной последовательности (результата свертки) не представляют никакой ценности, так как среднегодовые данные могут быть определены только по истечении 12 месяцев. Однако в ряде других приложений имеет значение вся последовательность, полученная в результате свертки, для которой ниже и будет выполнен расчет. Выбирая N = 128, мы тем самым обеспечиваем согласование последовательностей.

Последовательность данных, которая будет нами искусственно сформирована, можно представить как результаты ежемесячных измерений температуры, для которых характерны сезонные случайные изменения, наложенные на температурный тренд. Увеличение содержания углекислого газа в атмосфере представляет собой угрозу для урожая груш, являющихся одним из средств к существованию сельского населения. В силу того что повышение температуры на несколько градусов приводит к нерентабельности культивирования этой сельскохозяйственной продукции, необходимо исследование тенденций в изменении температуры. На рис. 5.3 данные измерений показаны кружками. Обращают на себя внимание значительные, но нерегулярные сезонные изменения. Для температурного тренда характерен глубокий минимум в зимние месяцы, однако в летний период соответствующий максимум не очевиден. В результате сглаживания с

Рис. 5.3. Данные ежемесячных измерений за восьмилетний период (кружки) и годовые усредненные (сглаженные) данные, изображенные для месячных интервалов (сплошная кривая) и полученные в результате циклической свертки для при дополнении последовательностей нулями с целью искусственного формирования 128-элементных последовательностей.

помощью 13-элементной последовательности получается кривая, предоставляющая более широкие возможности для анализа.

Если вычислительный процесс реализуется в виде циклической свертки при то значения данных могут быть присвоены элементам с порядковыми номерами, начиная с 97-го по 127-й. Пусть они равны нулю. Иногда может быть реализована ситуация, когда этим элементам присваиваются наиболее правдоподобные значения; в данном случае можно принять значение для установившегося состояния, равное 17, которое приближенно равно среднегодовой температуре. Однако при использовании нулевых элементов соответствующий график очень наглядно иллюстрирует участки расхождения вычисленной циклической и истинной сверток. Необходимо также представить фильтрующую последовательность в виде 13 требуемых коэффициентов и 115 нулей. Применительно к рис. 5.3 используется массив вида Таким образом, каждое сглаженное значение согласуется во времени с серединой группы из 13 элементов фильтрующей последовательности. При использовании последовательности вида будет иметь место различие в индексации, а именно сглаженная последовательность окажется задержанной на 6 месяцев. Эффект циклической свертки проявляется в получении 128 выходных (сглаженных) значений, из которых только 84 (с 7-го по 90-й месяцы) имеют физический смысл. Перед группой этих значений и после нее наблюдаются участки более или менее линейного изменения сглаженной кривой; небольшой участок возрастания этой кривой наблюдается в конце графика справа. Диапазон изменения аргумента (времени), в пределах которого сглаженная последовательность не равна нулю, в явном виде отражает искусственный характер формирования данных в результате расширения массива до 128 элементов, и

это явление вряд ли будет иметь неправильное толкование. В ряде других ситуаций могут отсутствовать защитные зоны из дополнительных нулей, что приводит к взаимному наложению во времени участков возрастания и убывания сглаженной последовательности, а это может создать видимость правдоподобия сглаженной последовательности. Один метод исключения неправильного толкования заключается в определении сглаженных значений, имеющих физический смысл, и их графическом изображении. Выходная сглаженная последовательность, представленная на рис. 5.3, оказывается одной и той же как при вычислении циклической свертки в области исходных данных с применением операций умножения и сложения, так и при использовании метода преобразования.