Примеры дискретных преобразований Хартли

Ниже приводится ряд примеров, иллюстрирующих свойства ДПХ. Сначала будут рассмотрены аналитические выражения, а затем проанализирован ряд последовательностей, заданных в численной форме.

Экспоненциалъно-убывающая функция. Для сравнения с примером, приведенным в гл. 2 для непрерывной функции, рассмотрим функцию

которая представляет рассмотренную выше непрерывную функцию с помощью равноотстоящих отсчетов. Функции при аргументе соответствующем разрыву колебания присваивается значение Соответствующее преобразование показанное на рис. 4.1, имеет явное сходство с отсчетами непрерывной функции, взятыми через интервалы

Рис. 4.1. Представление усеченной экспоненты, использованной выше для иллюстрации непрерывного преобразования, в виде 16 отсчетных значений (слева) и соответствующее ДПХ (справа).

Рис. 4.2. Остаточные значения, представляющие гладкий биномиальный импульс (слева) и соответствующее ДПХ (справа).

Расхождения, которые в данном примере незначительны, частично обусловлены усечением экспоненциальной функции, а также доопределением функции, что имеет место и для ДПФ.

Таблица 4.1. Биномиальная последовательность и ее ДПХ

Рис. 4.3. Н(v) стробирующей функции.

Рис. 4.4. Н(v) стробирующей функции, симметричной относительно

Биномиальный импульс. В качестве более наглядного примера рассмотрим биномиальную последовательность представляющую собой отсчеты гладкого импульса. Для получения наиболее простого результата будем считать, что значение функции максимально при Таким образом, и (см. табл. 4.1 и рис. 4.2) представляет сглаженный импульс, максимум которого имеет место при v = 0.

Для численной проверки полезно знать, что сумма значений ДПХ вида равна . И обратно, сумма значений равна Таким образом, если имеет то

Стробирующая функция. Рассмотрим оператор стробирования, обеспечивающий выборку из последовательности, состоящей из 16 элементов, второй группы в составе 4 элементов и заменяющий остальные 12 элементов нулями; эта операция эквивалентна умножению исходной последовательности на последовательности вида

Ее ДПХ показано на рис. 4.3. Если теперь рассмотрим другой оператор стробирования вида

то получим его отличающееся от и представленное на рис. 4.4. Численные результаты для обоих случаев нормированы к единице и приведены в табл. 4.2.

Во втором случае имеет место стробирование, симметричное

Таблица 4.2. ДПХ двух стробирующих функций

относительно и имеющее циклическое представление. Следовательно, в преобразовании отсутствуют быстрые колебания, а само преобразование напоминает функцию вида соответствующую центрированному прямоугольному импульсу.