Ранее применявшиеся подходы к преобразованию вещественных данных

Когда данные вещественные, а не комплексные, что обычно и имеет место, БПФ оказывается неэффективным методом преобразования, так как в принципе оно предназначено для комплексных исходных данных. С другой стороны, если мы находимся в области прямого преобразования, манипулирующего комплексными коэффициентами, и хотим выполнить обратный переход в область вещественных данных, то БПФ оказывается идеальным инструментом обработки исходных данных. Однако обращение к БПФ лишь с целью получения вещественных данных, в то время как это преобразование обладает способностью, формирования комплексной функции, означает использование алгоритма, который «слишком хорош» для данной задачи и поэтому по-прежнему неэффективен, но уже с другой точки зрения.

Может быть использован ряд методов с целью усовершенствования

БПФ при его применении для спектрального анализа вещественных данных. Если мы предполагаем осуществить переход в область прямого преобразования и остаться в ней, что имеет место при вычислении и отображении спектров мощности, реализуемых, например, в коммерческих спектрометрах, то один из способов увеличения быстродействия БПФ состоит в исключении переменных, представляющих несуществующую мнимую исходную функцию. Подобный усеченный алгоритм, разумеется, уже не является преобразованием Фурье (поскольку для него не имеет силы свойство взаимной однозначности отображения), однако при прочих равных условиях на его реализацию требуется такое же время, как и на ДПХ.

Если предполагается осуществить переход в область прямого преобразования, реализовать при этом такие операции, как фильтрация, свертка или другие методы обработки сигналов, а затем выполнить обратный переход в область вещественных данных, то усеченный алгоритм непригоден, так как теперь исходные данные являются комплексными. Однако может быть предложен другой алгоритм, использующий в качестве исходной функции комплексные данные и формирующий в результате только вещественные данные. Следовательно, осуществляя запись в память ЭВМ этих двух частных алгоритмов, каждый из которых является соответствующим модифицированным вариантом БПФ, можно достичь скорости вычислений, сравнимой со скоростью БПХ. Этот подход является общепринятым при разработке математического обеспечения коммерческого характера.

По сравнению с БПХ описанная выше процедура требует ячеек памяти ЭВМ для двух разных преобразований. Пользователь, кроме того, должен следить за тем, какой алгоритм должен быть использован, а процедура записи соответствующих массивов должна быть организована с учетом вещественных и мнимых переменных, так как оба преобразования оперируют комплексными величинами. Результаты оказываются вполне приемлемыми для пользователей программ долговременного хранения, но для специалистов, заинтересованных в модификации, обслуживании этих программ или включении их в состав более крупных программ, соответствующие процедуры оказываются неудобными и громоздкими. Однако были использованы и другие подходы.

Последовательность вещественных данных

в компактной форме может быть представлена в виде комплексной последовательности с меньшим числом элементов

к которой может быть применено БПФ с целью получения преобразования Теперь можно вычислить четную и нечетную компоненты последовательностей и объединить их с учетом соответствующих коэффициентов,

предусмотренных теоремой о сдвиге и фигурирующих в искомом БПФ

Из этого представления ясно, что увеличение скорости выполнения преобразования обусловлено применением 4-элементного БПФ вместо неэффективного 8-элементного БПФ. При необходимости возврата из области преобразования может быть достигнута такая же экономия. В данном случае мы осуществляем усечение 8-элементной последовательности, а именно уменьшение числа ее элементов до четырех, что, как очевидно, может быть достаточным для определения 8-элементного преобразования. Все, кроме одного из оставшихся коэффициентов, можно полагать комплексно сопряженными другим коэффициентам последовательности. Пятый элемент Е можно считать вещественным; поэтому он может быть представлен в совокупности с первым элементом, который также всегда является вещественным. Усеченное представление имеет вид . В результате обратного БПФ получается 4-элементная комплексная последовательность, из который после дальнейших манипуляций может быть получена 8-элементная вещественная последовательность. Соответствующие программы в доступной форме приводятся в литературе [Programs for Digital Signal Processing, IEEE Press, 1979. (Программы вычислений для цифровой обработки сигналов)].

Эти оригинальные методы и результаты прошлых лет были вытеснены преобразованием Хартли, которое в явном виде исключает применение комплексных процедур и позволяет использовать одну и ту же программу вычислений как при анализе в области прямого преобразования, так и при обратном переходе в область исходных данных. Когда требуются комплексные числа, они формируются на последнем этапе решения задачи. Интересно отметить, что вещественная и мнимая части в явном виде требуются только в ряде задач. Они обычно используются на промежуточных этапах получения окончательного результата, так как логика рассуждений оказывается в выигрыше из-за преимуществ процедур комплексного анализа. В соответствии со сказанным спектр мощности часто понимается как сумма квадратов вещественной и мнимой частей. Однако если бы в вычислениях мы оперировали вещественными данными с использованием вещественных процедур, то не было бы необходимости перехода к вещественным и комплексным компонентам для получения спектра мощности, так как результат может быть получен вообще без использования комплексной плоскости. Таким образом, исходя из ДПХ , непосредственно получим спектр мощности из соотношения

Аналогичный подход применим к фазе которая обычно определяется как отношение мнимой и вещественной частей, но в равной степени она может быть выражена через четную и нечетную

составляющие чисто вещественного преобразования Хартли. Таким образом,

Задачи

(см. скан)