Глава 3. ТЕОРЕМЫ

...Чтобы избежать утомительного повторения слов равно...», я проведу, как часто делаю в своей работе, две параллельные линии, или геометрические линии одинаковой длины, таким образом: =, так как никакие другие две линии не могут быть более равными.

Роберт Рекорд, 1557. (Первое известное использование знака равенства)

Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложпого математического анализа, аналогично тому, как обычные правила вычислений избавляют от необходимости повторения того, что уже было сделано. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчетов также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления.

Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.

Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая однако избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного.

Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны.

Соответствие операций

Если колебание имеет преобразование Хартли , то каким будет это преобразование для функции , т. е. функции, получающейся из исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т раз? Непосредственное определение интеграла для положительных Т приводит к выражению

Если отрицательно, то для новой переменной должно быть произведено изменение пределов интегрирования, вследствие чего результат равен . Чтобы учесть обе возможности (положительных и отрицательных Т), можно сформулировать вывод следующим образом:

Если имеет преобразование Хартли , то имеет преобразование Хартли вида .

Для сравнения приведем теорему подобия, или теорему изменения масштаба, применительно к преобразованию Фурье:

Таблица 3.1. Теоремы для преобразований Фурье и Хартли

Если имеет преобразование Фурье то имеет преобразование Фурье вида

Благодаря этой очень близкой аналогии удобно перечислить теоремы для обоих преобразований так, чтобы были наглядны и очевидны их различия.

Соответствующие соотношения сведены в табл. 3.1. Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотренному примеру.