Теорема о свертке

Теорема о свертке, удовлетворяющая дискретному преобразованию Хартли (ДПХ), формулируется следующим образом. Если - циклическая

свертка последовательностей т. е.

то

где - ДПХ последовательностей соответственно. Этот результат может быть выражен другим способом в виде

где - сумма четной и нечетной компонент.

Обычный путь численного выполнения свертки заключается в дискретном преобразовании Фурье каждой из двух заданных последовательностей и в последующем умножении их комплексных элементов в области преобразования Фурье, что равнозначно умножению четырех соответствующих вещественных величин в элементе ДПФ свертки. Далее следует выполнить обратное преобразование Фурье, не забывая при этом о необходимости изменения знака перед мнимой единицей . Аналогичная процедура использования преобразования Хартли для выполнения свертки потребует только двух умножений вещественных величин в элементе ДПХ сверток.

Однако очень часто возникают ситуации, особенно при обработке изображений, а также в общем случае при цифровой фильтрации, когда одна из свертываемых функций, например является четной. Поэтому в данных ситуациях теорема о свертке упрощается и приводится к виду

Благодаря этому упрощению необходимо только определить ДПХ обеих последовательностей данных, затем поэлементно перемножить получившиеся вещественные последовательности и к полученному результату применить операцию ДПХ. Таким образом, предлагаемая процедура имеет вид

Этот изящный и простой результат имеет сходство с результатом для ДПФ, а различие состоит лишь в том, что применительно к преобразованию Фурье определяются два прямых ДПФ, выполняется ряд умножений комплексных величин, а затем получившаяся комплексная последовательность подвергается процедуре обратного ДПФ. Вопрос выбора коэффициента будет рассмотрен ниже.