§ 70. Ток смещения

В случае стационарного (т. е. не изменяющегося со временем) электромагнитного поля ротор вектора Н равен в каждой точке плотности тока проводимости:

(см. (52.6) ). Вектор j связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности

Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда и плотность тока j не зависят от времени.

В этом случае согласно (70.2) дивергенция j равна нулю.

Поэтому линии тока (линии вектора j) не имеют источников и являются замкнутыми.

Выясним, является ли уравнение (70.1) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядку конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 70.1). Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора (на рисунке линии тока внутри обкладок показаны штриховыми линиями)

Рис. 70.1.

Возьмем круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течет ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (70.1) по пересекающей провод поверхности ограниченной контуром:

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора Н по контуру Г:

— сила тока, заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности не пересекающей провод с током (см. рис. 70.1), придем к явно неверному соотношению

Полученный нами результат указывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (70.1) перестает быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от производных полей по времени. Для стационарных полей это слагаемое обращается в нуль.

На неправомерность уравнения (70.1) в случае нестационарных полей указывают также следующие соображения. Возьмем дивергенцию от обеих частей соотношения (70.1):

Дивергенция ротора обязана быть равной нулю (см. (11.39)). Таким образом, мы приходим к выводу, что дивергенция вектора j также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод противоречит уравнению непрерывности (70.2). Действительно, при нестационарных процессах может меняться со временем (это, в частности, происходит с плотностью заряда на обкладках заряжаемого конденсатора). В этом случае согласно (70.2) дивергенция j отлична от нуля.

Чтобы согласовать уравнения (70.1) и (70.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (70.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (70.1) должно иметь вид

Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна

Если положить дивергенцию тока смешения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,

то дивергенция правой части уравнения (70.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (70.7) согласно (70.2) через получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:

Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением (19.8), согласно которому дивергенция вектора электрического смещения равна плотности сторонних зарядов:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим

Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координатам. В результате придем к следующему выражению для производной по

Подстановка этого выражения в формулу (70.8) дает

Отсюда

Подставив выражение (70.9) в формулу (70.5), придем к уравнению

(70.10)

которое, как и уравнение (69.5), является одним из основных в теории Максвелла.

Подчеркнем, что термин «ток смещения» является чисто условным.

По существу ток смещения — это изменяющееся со временем электрическое поле. Основанием для того, чтобы назвать «током» величину (70.9), служит лишь то, что размерность йтой величины совпадает с размерностью плотности тока. Из всех физических свойств, присущих действительному току, ток смещения обладает лишь одним — способностью создавать магнитное поле.

Введение тока смещения, определяемого выражением (70.9), «уравняло в правах» электрическое и магнитное поля. Из явления электромагнитной индукции вытекает, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Из уравнения (70.10) следует, что изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле.

Ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся со временем электрическое поле. В частности, он существует и внутри проводов, по которым течет переменный электрический ток. Однако внутри проводов ток смещения обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.

Отметим, что равенство (70.3) является приближенным. Для того чтобы оно стало вполне строгим, к его правой части нужно добавить слагаемое, учитывающее ток смещения, обусловленный слабым рассеянным электрическим полем, имеющимся в окрестности поверхности

Убедимся в том, что поверхностный интеграл от правой части уравнения (70.5) имеет одинаковое значение для поверхностей (см. рис. 70.1). Через поверхность «течет» как ток проводимости, так и ток смещения, обусловленный электрическим полем, имеющимся вне конденсатора. Следовательно, для первой поверхности имеем

(мы поменяли во втором слагаемом порядок операций дифференцирования по времени и интегрирования по координатам). Величина, обозначенная буквой есть сила тока, текущего по проводу к левой обкладке конденсатора, — поток вектора D, втекающий в объем V, ограниченный поверхностями (см. рис. 70.1).

Для второй поверхности следовательно,

где есть поток вектора D, вытекающий из объема V через поверхность

Разность интегралов равна

Силу тока можно представить как где q — заряд на обкладке конденсатора. Поток, втекающий внутрь через поверхность равен взятому с обратным знаком потоку, вытекающему через ту же поверхность наружу. Заменив Фитек на , а на получим

(70.11)

где поток вектора D через замкнутую поверхность, образованную поверхностями и Согласно (19.10) этот поток должен быть равен заряду, заключенному внутри поверхности. В данном случае это заряд q на обкладке конденсатора. Таким образом, правая часть соотношения (70.11) равна нулю. Отсюда следует, что величина поверхностного интеграла от вектора плотности полного тока не зависит от выбора поверхности, по которой вычисляется интеграл.

Для тока смещения, как и для тока проводимости, можно строить линии тока. Согласно формуле (20.4) электрическое смещение в зазоре конденсатора равно поверхностной плотности заряда на обкладке: Отсюда

Левая часть дает плотность тока смещения в зазоре, правая часть — плотность тока проводимости внутри обкладок. Равенство этих плотностей означает, что на границе обкладок линии тока проводимости непрерывно переходят в линии тока смещения. Следовательно, линии полного тока оказываются замкнутыми.