Лекция 13. Колебательные движения материальной точки

Физическое явление называется колебательным, если его протекание во времени характеризуется определенной периодичностью (повторяемостью). Колебания широко распространены в окружающей природе (смена дня и ночи, смена фаз Луны, чередование времен года, волны на поверхности воды, землетрясения, звук и свет и т.д. и т.п.) и в технике (колебания в машинах, колебания зданий и инженерных сооружений и их элементов, колебания средств транспорта - автомобилей, вагонов, судов, самолетов и вертолетов).

В деревообработке колебания представляют интерес в связи с вибрацией лесопильных рам, дереворежущих станков, колебаниями струн и дек музыкальных инструментов.

В теоретической механике рассматриваются механические колебания. Механические колебания весьма разнообразны по своей природе — различают свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания и различные случаи смешанных колебаний. Мы остановимся только на наиболее простых (в математическом отношении), но в то же время весьма распространенных типах механических колебаний — свободных и вынужденных колебаниях.

Свободные и вынужденные колебания будем рассматривать на примере прямолинейного движения материальной точки.

Свободные колебания

Свободные колебания материальной точки обусловливаются действием на нее особого вида силы, зависящей от положения — восстанавливающей силы.

Рис. 8.

Пусть ось — прямая, вдоль которой может двигаться материальная точка М под действием силы F (рис. 8). Сила F называется восстанавливающей, если она обладает следующими свойствами:

1) всегда направлена вдоль оси

2) на оси имеется точка , называемая положением равновесия (ПР), в которой сила равна нулю;

3) в остальных положениях точки М сила F отлична от нуля и направлена к положению равновесия.

Если начало отсчета О координаты принять в положении равновесия, то для проекции восстанавливающей силы можно написать:

Рис. 9.

Функция называется характеристикой восстанавливающей силы.

Если характеристикой восстанавливающей силы служит линейная функция

то восстанавливающая сила называется линейной, а колебания под действием линейной восстанавливающей силы — линейными колебаниями. Во всех остальных случаях восстанавливающая сила и соответствующие колебания называются нелинейными. В математическом отношении нелинейные колебания много сложнее линейных колебаний и далее рассматриваться не будут.

Одним из примеров, когда возникает восстанавливающая сила, служит тело, закрепленное к концу цилиндрической пружины, другой конец которой неподвижен (рис. 9). Восстанавливающей силой является упругая сила пружины , пропорциональная деформации (закон Гука): . Коэффициент с в этом случае называется жесткостью пружины. К возникновению восстанавливающей силы приводит «игра» силы тяжести и архимедовой выталкивающей силы плавающего тела, например понтона (рис. 10). Левый рисунок изображает понтон в положении равновесия; средний и правый рисунки — смещенное положение понтона (соответственно вниз и вверх); восстанавливающей силой служит сумма веса понтона и архимедовой силы , показанная на рисунке сдвоенной линией.

Рис. 10.

Для математического маятника роль восстанавливающей силы играет проекция силы тяжести на направление касательной к траектории (рис. 11).

Рис. 11.

Пусть материальная точка массы , на которую действует линейная восстанавливающая сила F (см. рис. 8), выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Поставим задачу найти закон возникающего после этого движения, называемого свободными колебаниями.

Выбираем начало отсчета координаты в положении равновесия, составляем дифференциальное уравнение движения

Поделив обе части уравнения на массу , запишем его в следующем виде:

Это — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для определения закона свободных колебаний точки требуется найти решение этого уравнения при начальных условиях:

Общее решение полученного уравнения имеет вид

или

Обе формы заииси общего решения равносильны. При теоретическом исследовании колебаний часто удобнее вторая форма, при решении задач — первая форма. Постоянные величины А, В и служат постоянными интегрирования.

Как видно из вида решения, движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы представляет собой гармонические колебания. Отдельные элементы гармонического закона движения имеют следующие названия:

Рис. 12.

— амплитуда колебаний; - круговая (угловая, циклическая) частота колебаний; - фаза колебаний; — начальная фаза колебаний.

На рис. 12 показан график гармонического колебательного движения. Буквой Т обозначен период колебаний — наименьший промежуток времени, по истечении которого движение начинает повторяться. Поскольку период синуса равен , для периода колебаний получается формула

Амплитуда и фаза входят в общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний в качестве постоянных интегрирования, поэтому их значения будут зависеть от начальных условий. Можно убедиться, что эта зависимость выражается следующими равенствами:

Что же касается частоты и периода колебаний, то их значения не зависят от начальных условий и всецело определяются параметрами самой колебательной системы — массой m и коэффициентом линейной восстанавливающей силы .

Пример. Найти свободные вертикальные колебания груза массы , подвешенного на пружине жесткости (рис. 13). Груз отпущен без начальной скорости из положения, соответствующего недеформированной пружине.

Решение. Будем рассматривать груз как материальную точку М, расположенную в точке прикрепления к пружине. Отнесем движение к оси , которую направим вдоль вертикали вниз. Пусть — положение этой точки, соответствующее недеформированной пружине, — положение равновесия, М — положение точки в текущий момент колебаний. Расстояние , на которое растянута пружина в положении равновесия, называется статическим удлинением. Так как в положении равновесия вес и упругая сила уравновешены (), то для определения имеем формулу:

Для составления дифференциального уравнения движения рассматриваем текущее положение груза. В этом положении к нему приложены упругая сила, равная по модулю и направленная вверх, и сила тяжести , направленная вниз. Выбрав начало координат О в положении равновесия , для текущих значений координаты и проекции упругой силы можем записать:

Рис. 13.

Составляем дифференциальное уравнение движения:

Так как , в правой части два первых слагаемых взаимно уничтожаются, и мы приходим к уравнению

которое только что было рассмотрено.

После подстановки числовых значений коэффициентов , с и приведения к типовому виду уравнение примет вид

Записываем его общее решение и вычисляем производную:

Подставляя сюда начальные условия получаем два уравнения для определения постоянных интегрирования:

из которых находим

Рис. 14.

Наконец, подставляя эти значения в общее решение дифференциального уравнения движения, получим искомый закон движения груза

Видно, что груз совершает гармонические колебания с частотой , периодом и амплитудой .