§ 58. Затухающие колебания

Затухающие колебания описываются уравнением (см. (50.11)):

(58.1)

где

( — коэффициент сопротивления, т. е. коэффициент пропорциональности между скоростью х и силой сопротивления; k — коэффициент квазиупругой силы).

Отметим, что представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при ). Эту частоту называют собственной частотой системы.

Подстановка в (58.1) функции приводит к характеристическому уравнению

Корни этого уравнения равны

При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде где — вещественная величина, равная

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

Согласно (52.5) общим решением уравнения (58.1) будет функция

Выражение в скобках аналогично выражению (53.3). Поэтому его можно представить в виде, аналогичном (53.7). Таким образом, при не слишком сильном затухании общее решение уравнения (58.1) имеет вид

Здесь — произвольные постоянные, — величина, определяемая формулой (58.5). На рис. 58.1 дан график функции (58.7).

Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (58.7) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с амплитудой, изменяющейся по закону Верхняя из пунктирных кривых на рис. 58.1 дает график функции причем величина представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит, кроме также от начальной фазы .

Рис. 58.1.

Скорость затухания колебаний определяется величиной которую называют коэффициентом затухания. Найдем время , за которое амплитуда уменьшается в раз. По определению откуда . Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в раз.

Согласно формуле (53.8) период затухающих колебаний равен

При незначительном сопротивлении среды период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, и т.д. на рис. 58.1) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если то и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:

(не путать с К в формулах (58.3 ) и (58.6)).

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания Выразив в соответствии с (58.9) через и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

За время , за которое амплитуда уменьшается в раз, система успевает совершить колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

(58.10)

называемая добротностью колебательной системы.

Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Подстановка функции (58.7) и ее производной в выражение для полной энергии колеблющейся системы приводит после преобразований к формуле

(58.11)

где График этой функции изображен на рис. 58.2.

Убывание энергии обусловлено работой силы сопротивления среды . Мощность, развиваемая этой силой, равна Таким образом,

Отсюда вытекает, что в тех точках кривой касательная к кривой параллельна оси t. В остальных точках

При малом затухании слагаемым, содержащим синус, в формуле (58.11) можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону

(58.12)

где — значение энергии в начальный момент.

Рис. 58.2.

К тому же результату можно прийти, если заменить определяемое формулой (58.11) мгновенное значение его средним значением за время от до (Т — период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель в течение промежутка Т остается постоянным.

Продифференцировав выражение (58.12) по t, получим скорость возрастания энергии системы:

Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии:

(58.13)

Если энергия мало изменяется за время, равное периоду колебаний, убыль энергии за период можно найти, умножив выражение (58.13) на Т:

(напомним, что АЕ обозначает приращение, а — убыль энергии). Наконец, приняв во внимание формулы (58.9) и (58.10), придем к соотношению

из которого следует, что при слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Из формулы (58.8) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.

При корни характеристического уравнения становятся вещественными (см. (58.4)) и решение дифференциального уравнения (58.1) оказывается равным сумме двух экспонент:

Здесь — вещественные постоянные, значения которых зависят начальных условий (от ). Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. На рис. 58.3 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.

Рис. 58.3.

Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением х, к положению равновесия с начальной скоростью определяемой, условием

(58-14)

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка (т. е. с ) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что на окажется меньше определяемой условием (58.14)), движение будет происходить в соответствии с кривой 1 на рис. 58.3.