§ 7. Принцип сжатых отображений

Пусть X и — метрические пространства, — некоторое множество в пространстве X.

Если каждой точке по некоторому закону поставлена в соответствие определенная точка говорят, что на множестве задан оператор А со значениями в пространстве и пишут

Множество называют областью определения оператора А; х называют аргументом оператора А. Каждую

точку такую, что называют образом соответствующей точки Относительно оператора А говорят, что он устанавливает отображение множества в пространство

Если совокупность значений оператора А совпадает со всем то говорят, что оператор А отображает на пространство

Примеры. 1. Пусть X — пространство функций непрерывных на отрезке Каждой функции поставим в соответствие функцию

где — заданная, непрерывная в квадрате функция. Этим мы определим на интегральный оператор

который, как будет показано ниже, переводит пространство в себя.

2. Обозначим через совокупность функций определенных в и бесконечно дифференцируемых в этом интервале. Каждой функции поставим в соответствие ее производную Этим мы определим оператор дифференцирования действующий из

Принцип сжатых отображений выражается следующей теоремой:

Теорема Банаха). Пусть в полном метрическом пространстве X дан оператор А, переводящий элементы пространства X снова в элементы этого пространства, т. е.

Пусть, кроме того, для всех х, у из X

где и не зависит от х, у.

Тогда существует одна и только одна точка такая, что

Оператор А, обладающий свойством (1), называют оператором сжатия, а точку такую, что называют неподвижной точкой оператора А.

Вообще, оператор А может и не иметь неподвижных точек. Простейший пример — оператор сдвига в условиях теоремы Банаха неподвижная точка существует, и притом только одна.

Доказательство. Возьмем произвольный фиксированный элемент и положим

Покажем, что последовательность фундаментальная. Для этого заметим, что

Далее,

Так как по условию то

откуда в свою очередь следует, что и любом

Значит, последовательность сходится в себе (фундаментальная). В силу полноты пространства X существует элемент являющийся пределом этой последовательности,

Докажем, что

В самом деле,

Так как то для любого при достаточно большом

Следовательно,

Так как произвольно, то отсюда следует, что

Докажем единственность неподвижной точки у оператора сжатия.

Предположим, что существуют два элемента такие, что

Тогда

Если допустить, что то из предыдущего следует, что а 1. Но это противоречит условию а Значит, наше допущение, что , неверно и

Переходя в формуле (2) к пределу при получаем оценку ошибки приближения:

Одновременно (3) служит и оценкой скорости сходимости»

Замечание 1. Построение последовательных приближений сходящихся к неподвижной точке можно производить, исходя из любого элемента Выбор элемента х будет сказываться лишь на быстроте сходимости к своему пределу. Замечание 2. Условие

нельзя, вообще говоря, заменить на более слабое

В самом деле, пусть — множество действительных чисел с естественной метрикой и пусть

Нетрудно видеть, что неподвижных точек у оператора А нет: уравнение определяющее неподвижные точки оператора А, в данном случае принимает вид

и решений не имеет.

Вместе с тем, используя теорему Лагранжа, получаем

т. e. условие выполняется.