§ 40. Точки бифуркации

Близким к понятию точки ветвления является понятие точки бифуркации.

Пусть, для определенности, Тогда уравнение

имеет нулевое решение при всех значениях параметра .

Определение. Число называется, точкой бифуркации для уравнения (1) (или для оператора если любому соответствует такое значение параметра Я из интервала , при котором уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое решение удовлетворяющее условию

В отличие от определения точки ветвления, в определении точки бифуркации заранее предполагается известным решение (семейство решений), определенное при всех значениях параметра; речь идет об «ответвлении» решений от заданного.

Пусть, например, есть характеристическое число непрерывного ядра Однородное интегральное уравнение

при любом имеет тривиальное решение

При это уравнение имеет еще нетривиальное решение которое определяется с точностью до постоянного множителя и потому может быть сделано по норме меньше любого

Итак, для всякого существует (например, при котором уравнение (2) имеет ненулевое решение удовлетворяющее условию . Согласно определению, это и означает, что характеристическое число ядра есть точка бифуркации уравнения (2).

Таким образом, если интервал не содержит других характеристических чисел ядра то при изменении X в этом интервале мы имеем сначала одно решение а при решений будет уже два: от нулевого решения ответвляется еще ненулевое.

Если оператор непрерывно дифференцируем по Фреше, то, в силу теоремы 9.4 о неявной функции, его точками бифуркации могут быть лишь те значения X, при которых единица является точкой спектра оператора

Пусть где В — вполне непрерывный линейный оператор, не зависящий от X. В этом случае точки бифуркации являются характеристическими значениями оператора В (т. е. значениями, обратными собственным).

Пример (уравнение Гаммерштейна с вырожденным ядром).

Очевидно, что при всяком значении параметра X уравнение (3) имеет рёшение

Полежим

Тогда

Подставляя (5) в (4), будем иметь

Решая систему -находим одно решение что дает и другое, которое дает

Значение будет бифуркационным для уравнения (3). В самом деле, для любого существует значение , например любое при котором уравнение (3) имеет ненулевое решение удовлетворяющее условию

Согласно определению, это и означает, что — точка бифуркации.

Оператор Гаммерштейна, как известно, дифференцируем по Фреше в любой точке и его дифференциал точке равен

Легко проверить, что для линейного интегрального уравнения

значение есть характеристическое число.

Таким образом, точка бифуркации уравнения (3) является характеристическим Числом уравнения (7).

Возникает вопрос: каждое ли характеристическое значение оператора В является точкой бифуркации?

В общем случае, как показывают примеры (1121), ответ отрицателен.

Рассмотрим, например, в плоскости оператор , определенный равенством

Оператор В для этого случая есть оператор тождественного преобразования, имеющий характеристическим числом единицу:

В то же время оператор А совсем не имеет собственных векторов. Действительно, пусть при некотором к

Умножая первое из этих равенств на х, второе на у и складывая, получим откуда так

как (собственный вектор — ненулевой). Подставляя в (8) А. получим не есть собственное значение оператора А.

В задачах, связанных с условиями устойчивости, точки бифуркации определяют критические силы. Так, задача об изгибе прямолинейного стержня единичной длины и переменной жесткости под воздействием силы Р приводит к решению нелинейного интегрального уравнения

где — искомая функция.

Это уравнение имеет нулевое решение при всех значениях параметра Р. При малых Р уравнение (9), в силу принципа сжатых отображений, имеет единственное нулевое решение в пространстве Это означает, что при малых Р стерженьне изгибается. Однако при силах, больших так называемой критической силы Эйлера, возникает прогиб.

Критическая сила Эйлера и является бифуркационным значением. В механике при отыскании точек бифуркации нелинейного оператора А задачу обычно линеаризуют: вместо оператора А рассматривают линейный оператор В (производную Фреше оператора А в точке , находят характеристические числа оператора В, которые и считают точками бифуркации оператора А. Но, как мы видели, такая линеаризация законна не всегда.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 9.5 (М. А. Красносельского). Если вяолме непрерывный оператор имеет в точке производную Фреше то каждое нечетно-кратное (в частности, простое) характеристическое значение оператора В является точкой бифуркации оператора .

Если характеристическое значение оператора В имеет четную кратность, то: требуется дополнительный анализ.

Как известно, интегральные операторы Урысона и Гаммерштейна при достаточно широких предположениях

имеют в нуле (пространств С или дифференциал Фреше В — линейный интегральный оператор:

Из теоремы 9.5 следует, что каждое характеристическое число нечетной кратности ядра является точкой бифуркации соответствующего нелинейного интегрального оператора Урысона или Гаммерштейна.