§ 10. Линейные операторы. Норма оператора

Пусть Е и Е — линейные пространства. Оператор действующий из Е в называется линейным, если он

1) аддитивен, т. е.

2) однороден, т. е.

Непосредственно из определения линейного оператор следует, что всегда

Из 1) и 2) легко получаем

для любых из Е и любых чисел

Примеры. 1. Оператор О, переводящий каждый элемент х пространства Е в нулевой элемент пространства является линейным. Он называется нулевым оператором.

2. Оператор переводящий каждый элемент пространства Е в себя:

линеен. Он называется единичным или тождественным оператором.

3. Оператор Л, переводящий каждый элемент в элемент ( фиксированное число), есть линейный оператор, называемый оператором подобия.

4. Пусть А — линейный оператор, отображающий n-мерное пространство с базисом в -мерное пространство с базисом

Если

и, в силу линейности оператора А,

Таким образом, оператор А будет задан, если известно, во что он переводит базисные векторы еп-Разложим вектор по базису Будем иметь

Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов столбцами которой служат координаты векторов относительно базиса .

Пусть Е и — линейные нормированные пространства. Определение. Оператор с областью определения и со значениями в называется непрерывным в точке если для всякого существует такое, что для всех таких, что выполняется неравенство

Здесь нормы в пространствах соответственно.

Часто бывает удобно следующее (равносильное) определение непрерывности оператора.

Оператор А непрерывен в точке если для любой последовательности элементов сходящейся к по норме пространства Е, соответствующая последовательность сходится к элементу по норме пространства т. е.

Примеры. 1. Пусть Для произвольной функции положим

где — некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных в квадрате

Используя равномерную непрерывность в получаем, что функция непрерывна для любой непрерывной функции так что равенство (1) определяет оператор действующий из пространства Его называют интегральным оператором Фредгольма с (непрерывным) ядром Линейность этого: оиератора очевидна:

Непрерывность оператора А следует из того, что сходимость в пространстве есть равномерная сходимость, при которой возможен предельный переход под знаком интеграла. Поэтому, если то

2. Пусть теперь Вновь рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

но теперь будем предполагать, что ядро интегрируемо с квадратом по области

Покажем, что формула (1) определяет оператор, действующий из

В силу теоремы Фубини (см. [27]) из условия (2) следует, что ядро как функция от принадлежит Значит, интеграл (1) существует для любой функции По той же теореме Фубини функция

принадлежит причем

Используя неравенство Коши—Буняковского, находим

Неравенство (3) можно записать в виде

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого неравенства, будем иметь

Линейность оператора А очевидна, а непрерывность его следует из неравенства (4), поскольку если

и, значит,

Упражнение. Показать, что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор непрерывен.

Теорема 3.1 Линейный оператор определенный на линейном нормированном пространстве Е и отображающий Е в линейное нормированное пространство непрерывный в одной точке , непрерывен на всем пространстве Е.

Действительно, пусть х — любая точка из Е и Тогда Так как А непрерывен в точке то

Но в силу линейности оператора

Поэтому

откуда

Последнее означает, согласно определению, что оператор А непрерывен в точке

Определение (I). Линейный оператор А, действующий из Е в называется ограниченным, если он определен на всем Е и существует такая постоянная что

Здесь — норма в пространстве — норма в пространстве Е.

Согласно этому определению, ограниченный оператор переводит каждое ограниченное множество элементов в ограниченное же множество элементов

Между ограниченностью и непрерывностью линейных операторов существует тесная связь, которая выражается следующей теоремой.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Иногда бывает удобнее пользоваться иным, равносильным предыдущему, определением ограниченного оператора.

Определение (II). Оператор А называется ограниченным, если он ограничен в единичном шаре пространства Е, т. е. существует число такое, что

для всех х таких, что

Покажем эквивалентность определений (I) и (II). Пусть оператор А ограничен в смысле второго определения. Положим так что когда Если теперь — любой элемент из Е, то и потому откуда так что условие (5) выполняется с

Предположим, напротив, что выполняется условие (5). Тогда для

т. е. А — ограниченный оператор в смысле второго определения.

Определение. Число определяемое равенством 4

называется нормой оператора А и обозначается символом

Таким образом, для любого

Очевидно, что есть наименьшая из констант, участвующих в неравенстве (5).

В самом деле, если бы это было не так; то нашлось бы число такое, что

Тогда для мы имели бы

откуда

что невозможно.

Поэтому норму оператора А можно определить как нижнюю грань всех чисел при которых имеет место неравенство (5):

Пример. Рассмотрим в пространстве оператор

называемый оператором умножения на независимую переменную. Очевидно,

Для простоты будем считать, что

Для любой функции имеем

Отсюда

Если взять функцию на то для нее

и поэтому

Из (9) и (10) вытекает, что

Вычисление норм конкретных операторов обычно весьма затруднительно. Однако часто бывает довольно легко оценить норму оператора сверху, что порой оказывается достаточным.

Рассмотрим, например, в пространстве С 1а, интегральный оператор Фредгольма

с непрерывным в ядром

Пусть Для имеем

Отсюда

Оценка (11) является весьма грубой, хотя и используется

во многих рассуждениях. Легко видеть, что справедлива более точная оценка

Можно показать ([19]), что в данном случае

В заключение приведем пример линейного, но не ограниченного оператора.

Пусть

Рассмотрим оператор дифференцирования

Этот оператор линеен. Однако он определен не на всем а лишь на подмножестве функций, имеющих непрерывную производную. Оператор А на не является ограниченным. В самом деле, пусть на Тогда

а

и поэтому