§ 34. Операторные уравнения 1-го рода

Под операторным уравнением 1-го рода понимают уравнение

где — элементы гильбертова пространства Н, А — вполне непрерывный оператор.

Так, интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода

где — интегрируемое с квадратом в прямоугольнике ядро, а — функции из является примером операторного уравнения рода.

Одним из существенных моментов в теории таких уравнений является то, что оператор, обратный вполне

непрерывному, не ограничен. Поэтому, если два близких между собой элемента из Н и оба уравнения

разрешимы, то соответствующие решения могут сильно отличаться друг от друга.

Таким образом, сколь угодно малая погрешность в свободном члене уравнения (1) может привести к сколь угодно большой ошибке в решении.

Задачи, в которых малое изменение исходных данных приводит к малому изменению решения, называются корректными. Решение интегрального уравнения 1-го рода (в отличие от уравнения 2-го рода) в общем случае является некорректной задачей.

В настоящее время некорректные задачи и методы их регуляризации (т. е. сведения их к задачам, в том или ином смысле корректным) стали предметом пристального внимания большого числа математиков как в нашей стране (школа акад. А. Н. Тихонова), так и за рубежом.

Задача решения уравнения (1) называется поставленной корректно по Тихонову, если выполнены следующие условия:

1) априори известно, что решение существует для некоторого класса исходных данных и принадлежит некоторому заданному множеству

2) решение единственно в классе функций

3) решение уравнения (1) непрерывно зависит от правой части на множестве где есть образ множества М при отображении

Рассмотрим уравнение

где А — линейный вполне непрерывный оператор и II

Пусть задача решения уравнения (1) поставлена корректно по Тихонову, и пусть множество корректности М есть множество функций и, определяемых соотношением

где В — линейный вполне непрерывный оператор,

Пусть задана функция удовлетворяющая следующим условиям:

а) — непрерывная неубывающая функция, и

б) для любого удовлетворяющего неравенству

имеет место неравенство

Укажем один метод решения уравнения (1), ограничившись наиболее простым случаем

Пусть А — положительно определенный симметричный оператор и операторы А и В перестановочны. Обозначим через функцию

и оценим разность . В силу (1), (2) имеем

где

Функция удовлетворяет неравенствам

Действительно, в силу положительной определенности оператора А, для любой функции

откуда, взяв в качестве функцию находим

Из неравенств (7) уже следуют неравенства (5). Из неравенств (6) и из неравенства (3) получаем

Таким образом, если функция такова, что уравнение (1) разрешимо, то по норме при

Пусть теперь правая часть известна с точностью до т. е. известна функция такая, что

Обозначим через функцию

и оценим разность . В силу (7), (8) имеем

Если х есть корень уравнения то из неравенства (9) следует

Очевидно, что , значит, со стремится к нулю при Следовательно, функцию можно считать приближенным решением уравнения (1). Заметим, что определение функции эквивалентно решению операторного уравнения 2-го рода

Применительно к уравнению Фредгольма это означает, что мы рассматриваем вместо уравнение 2-го рода

Приведем один относящийся сюда результат В, К. Иванова. Пусть имеем интегральное уравнение

с симметричным, замкнутым, положительно определенным ядром. Пусть решение этого уравнения существует и принадлежит или Пусть, далее, — решение уравнения

где

Исследуется асимптотика функций для которых

Оказывается, что для сильной -сходимости в (10) необходимо и достаточно, чтобы Для равномерной сходимости в (10) в некоторых случаях достаточно, чтобы Выбор величины очень существен, но сопряжен с большими трудностями. Зачастую величину подбирают эмпирически, с помощью анализа модельных задач с известными решениями.