§ 8. Применение принципа сжатых отображений к интегральным уравнениям

1°. Применим принцип сжатых отображений для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

Предположим, что ядро непрерывно в замкнутом квадрате , следовательно, ограничено

в нем: Предположим также, что Будем искать решение уравнения (1) в классе функций, непрерывных на .

При этом решением интегрального уравнения (1) будем называть всякую функцию которая, будучи подстазлена в уравнение (1), обращает его в тождество по на

Очевидно, что при уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение

Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо и при всех Я, достаточно малых по абсолютной величине. Будем рассматривать правую часть уравнения (1) как оператор определенный в пространстве

Всякую функцию оператор А переводит в некоторую, вообще другую, функцию определенную на том же отрезке . И вопрос о существовании решения интегрального уравнения (1) тем самым сводится к вопросу о наличии неподвижной точки у оператора А, т. е. такой функции которая оператором А переводится в себя:

Рассмотрим, например, уравнение

Оператор, отвечающий этому уравнению,

Полагая имеем

т. е.

Положим теперь Тогда

т. е.

Таким образом, «точка» есть неподвижная точка оператора А — решение интегрального уравнения

Покажем, что оператор А, определенный формулой (3), действует из полного пространства опять в , т. е. что если где , то и .

Действительно, пусть — произвольная точка отрезка и пусть - любое, лишь бы Имеем

Возьмем любое По условию , и потому такое, что

Пусть, далее,

Ядро непрерывно в замкнутом квадрате , значит, равномерно непрерывно в Поэтому для выбран ного найдется такое, что

при и любом

Возьмем Тогда при таких, что будут одновременно выполняться неравенства (5) и (6) и в силу неравенства (4) получим, что

что и доказывает непрерывность функции в любой; точке отрезка

Итак,

Выясним теперь, при каких условиях оператор А будет сжимающим. Имеем

Вспоминая, что неравенству (7) придадим следующий вид:

откуда видно, что при оператор А будеч оператором сжатия.

Из принципа сжатых отображений заключаем, что для всякого такого, что

уравнение Фредгольма (1) с непрерывным ядром и непррывным свободным членом имеет единственное непрерывное решение.

Последовательные приближения к этому решению определяются из соотношений

где в качестве можно взять любую непрерывную на функцию.

Пример. Решить интегральное уравнение

Решение. Ядро непрерывно в квадрате причем

Далее, так что , и условие , обеспечивающее сжатость отображения, здесь выполнено. Поэтому интегральное уравнение (9) может быть решено мзтодом последовательных приближений. Доложим Тогда, согласно (8),

Отсюда

Если взять то будем иметь

Таким образом, мы сразу получаем решение. Это как раз подчеркивает, что удачный выбор начальной функции может значительно сократить процесс нахождения решения интегрального уравнения.

Вернемся снова к интегральному уравнению (1):

Будем по-прежнему предполагать, что ядро непрерывны. Исходя из метрики пространства мы показали, что уравнение 1) имеет единственное непрерывное, решение если , где

Покажем теперь, пользуясь метрикой пространства

что этот результат справедлив в более широком интервале значений Параметра

Лемма. При любом т. е. таком, что

функция

непрерывна на

Доказательство. Возьмем любую точку По условию ядро К. непрерывно в замкнутом

том квадрате , значит, равномерно непрерывно в нем. Поэтому для всякого существует такое что для всех таких, что справедливо неравенство

Поэтому

В силу произвольности отсюда и вытекает непрерывность функции в любой точке Лемма доказана.

Из леммы следует, что правая часть (1) есть непрерывная функция при любой Следовательно, должна быть непрерывной и левая часть.

Таким образом, среди всех функций, входящих в решениями уравнения (1) могут быть только непрерывные функции.

Будем рассматривать правую часть (1) как оператор заданный в пространстве

В силу леммы

Положим

и покажем, что при оператор А — сжимающий. Имеем

Используя неравенство Коши—Буняковского, отсюда получаем

Интегрируя обе части последнего неравенства по от о до найдем

или

откуда

Следовательно, при т. е. при оператор А — сжимающий. И значит, при интегральное уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение

Очевидно, что (равенство возможно лишь при и интервал вообще, шире, чем интервал .

Так, в рассмотренном выше примере имеем

и для получаем следующую оценку:

Однако если то для последовательных приближений можно гарантировать лишь сходимость в среднем, а не равномерную сходимость, имеющую место при .

Замечание. Можно отказаться от непрерывности «Штрабовать лишь, чтобы

В этом случае естественно искать решение среди функций из Можно показать, что и в этом случае при уравнение (1) имеет единственное решение. Но это решение уже не обязано быть непрерывной функцией, а его единственность означает единственность с точностью до функций, почти всюду равных нулю.

2°. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

Выше отмечалось, что это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив ядро равенством

Однако, в отличие от уравнений Фредгольма, к уравнениям Вольтерра принцип сжатых отображений (точнее, одно его обобщение) применим при всех значениях К. Введем предварительно следующее понятие.

Пусть X и — метрические пространства. Оператор А, отображающий множество в пространство называется непрерывным в точке если для любого существует такое что для всех удовлетворяющих условию

имеет место неравенство

(Здесь — расстояния между элементами пространств X и соответственно.)

Оператор А называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан.

Пусть оператор А действует из X в X. Возьмем любой элемент (Тогда будет опять принадлежать пространству X и к нему снова можно применить оператор А:

Оператор, состоящий в последовательном применении дважды оператора А, будем обозначать символом и называть квадратом оператора А.

Аналогично определяются операторы и вообще любая целая положительная степень оператора А.

Теорема 2.2. Пусть А — такое непрерывное отображение полного метрического пространства X в себя, что отображение Аппри некотором является сжатым Тогда уравнение имеет, и притом единственное, решение.

Обратимся к интегральному уравнению (11)

Будем предполагать, что и что ядро непрерывно в замкнутом треугольнике

Введем оператор определив его формулой

Нетрудно установить, что

Покажем, что Л — непрерывный оператор.

Пусть — любые две функции из Тогда

Здесь

Из оценки (13) получаем, что

так что

Возьмем любое Тогда при из условия будем иметь

Согласно определению, это и означает, что оператор А, определенный формулой (12), есть непрерывный оператор из

Далее, используя оценку (16), находим

и, вообще,

Неравенство (14) верно для любого , значит,

При любом значении X число можно выбрать настолько большим, что

Следовательно, оператор будет сжимающим при достаточно большом

В силу теоремы 2.2 отсюда заключаем, что сам оператор А имеет единственную неподвижную точку и, значит, уравнение Вольтерра (11) при любом X имеет, и притом единственное, решение.

Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые строятся по схеме

где в качестве можно взять любую функцию из

Пример. Методом последовательных приближений решить интегральное уравнение

Решение. В данном случае непрерывны и, значит, уравнение имеет единственное непрерывное решение.

Будем его искать методом последовательных приближений. По ложим . Тогда получим

Далее,

Ясно, чио

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция есть решение данного интегрального уравнения.

3°. Принцип сжатых отображений применим к решению некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Пусть имеем уравнение

где непрерывные функции своих аргументов для а

Пусть, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по своему «функциональному» аргументу т. е.

где — некоторая постоянная, независящая от выбора

Рассмотрим отображение полного пространства в себя, где

Пусть — любые две функции из . Тогда

Оценка (18) справедлива для любого Значит, и

Следовательно, при оператор А будет сжимающим и, в силу теоремы 2.1, интегральное уравнение (16) будет иметь при таких Я единственное непрерывное решение.

Это решение может быть найдено методом последовательных приближений по схеме

где в качестве можно взять любую функцию из

Замечание. Если функция имеет ограниченную частную производную по

то такая функция удовлетворяет условию Липшица по с константой . В самом деле, воспользовавшись теоремой Лагранжа, будем иметь

где заключено между Из (19) получаем что и доказывает наше утверждение.

Пример. Решить интегральное уравнение

Решение. Функция непрерывная функция своих аргументов; она имеет ограниченную производную по а

и, следовательно, удовлетворяет условию Липшица по причем в качестве постоянной Липшица мы можем взять Далее, так что условие

обеспечивающее сжатость отображения, здесь выполнено. Применим метод последовательных приближений, взяв за нулевое приближение . Тогда

Ясно, что откуда

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция есть решение данного интегрального уравнения (кстати, при любом значении ).

4°. Системы интегральных уравнений. Система интегральных уравнений Фредгольма второго рода с одной независимой переменной имеет вид

Пусть ядра интегрируемы. с квадратом в а свободные члены Будем искать решение системы (20) также в классе Поступйм следующим образом.

Сведем систему (20) к одному интегральному уравнению типа Фредгольма, но только на интервале, в раз большем исходного. Делается это так. Определим функции и на отрезке положив

если

Точно так же зададим ядро в квадрате

положив

если

Тогда система (20) запишется в виде одного уравнения Фредгольма:

Нетрудно видеть, что построенное нами ядро интегрируемо с квадратом

а свободный член Действительно,

Точно так же

Итак, мы свели систему уравнений (1) к одному интегральному уравнению Фредгольма с ядром и свободным членом

Применяя к нему рассуждения , получаем, что если то уравнение (21) имеет единственное решение в классе Это последнее может быть найдено методом последовательных приближений.

Следовательно, и для системы (20) последовательные приближения сходятся в среднем к решению системы, коль скоро где