Билинейное разложение симметричных ядер

Пусть имеем симметричное адро и пусть оно имеет лишь одно характеристическое число которому отвечает лишь одна линейно независимая собственная

функция которую мы будем считать нормированной. Тогда

В самом деле, рассмотрим симметричное ядро

и покажем, что у ядра нет ни одного ненулевого характеристического числа, так что

Будем рассуждать методом от противного. Пусть есть собственная функция ядра так что

Умножая обе части (11) на и интегрируя по в пределах от а до получим

Но

(Здесь мы воспользовались симметричностью ядра и тем, что )

Таким образом, из (12) имеем

Но тогда в силу (11)

так что должна быть собственной функцией ядра , следовательно, пропорциональна что противоречит (14). Значит, наше допущение неверно и

Пусть теперь для симметричного ядра известна система его характеристических чисел

и собственных функций

Будем считать, что собственные функции ортонормированы, а характеристические числа расположены в порядке возрастания абсолютных величин, так что

Составим новое ядро

Ясно, что -симметричное ядро. Можно показать, что Последовательности

образуют систему характеристических чисел и соответствующих им собственных функций ядра

Значит, наименьшее по модулю характеристическое число ядра есть если только ядро имеет более характеристических чисел.

Рассмотрим частный случай, когда ядро имеет конечное число характеристических чисел . Тогда ядро не имеет ни одного характеристического числа и, значит, так что

Мы рассматриваем для простоты случай действительного симметричного ядра; в общем случае вырожденного ком-Плекснозначного ядра

Формула (15) показывает, что ядро вырожденное. Вспоминая, что всякое вырожденное ядро имеет только конечное число характеристических чисел, приходим к заключению:

Для того чтобы система характеристических чисел и собственных функций симметричного -ядра была конечной, необходимо и достаточно, чтобы это ядро было вырожденным.

В этом случае ядро может быть представлено в виде (15). Рассмотрим -ядро как функцию переменной с и параметра Тогда из условия

и теоремы Фубини следует, что как функция при почти всех значениях параметра принадлежит Поэтому для можно построить ряд Фурье по ортонормированной системе собственных функций ядра который будет сходиться в среднем к функции Коэффициенты Фурье определятся формулами

так что ряд Фурье для будет иметь вид

Это равенство называется билинейным разложением ядра по его собственным функциям.

Пределы суммирования могут быть либо конечными (в случае вырожденного ядра), либо бесконечными (в случае невырожденного). Теорема о билинейном разложении ядра для произвольных непрерывных ядер в пространстве , когда сходимость рядов должна быть равномерной, не имеет места. Однако если ядро, непрерывно в а его характеристические числа положительны, то билинейный ряд этого ядра сходится равномерно (теорема Мерсера, [31]).

Пример. Рассмотрим интегральное уравнение

где

Нетрудно показать, что Запишем уравнение (1) в виде

Отсюда видно, что Дифференцируя обе части найдем

Повторное дифференцирование дает Итак, интегральное уравнение сводится к краевой задаче

Нетривиальные решения этой задачи:

Функции являются собственными функциями интегрального уравнения отвечающими характеристическим числам этого уравнения. Как известно, система функций ортогональна на Далее,

Таким образом, система ортонормированных собственных функций ядра и соответствующих им характеристических чисел в нашем случае такова:

Билинейный ряд в данном случае имеет вид

и сходится равномерно. 4

Разложим в ряд Фурье по синусам функцию

Используя известные формулы Эйлера — Фурье

находим

так что действительно

С помощью разложения (17) можно получить многочисленные полезные формулы.

Так, возводя обе части равенства (17) в квадрат, интегрируя результат по и в пределах от а до и имея в виду ортонормированность собственных функций, получим

Замечание. Если ядро несимметрично, то имеет место фундаментальное неравенство И. Шура:

Полагая в и интегрируя обе части по получим для следа непрерывного ядра формулу

Рассмотрим итерированные ядра для ядра Используя разложение (17), в силу ортонормированности собственных функций имеем

Аналогично

формулы (20) и (21) дают билинейные разложения итерированных ядер.

Таким образом, если ядро симметрично, а — системы его характеристических чисел и собственных функций, то при числа и функции образуют систему характеристических чисел и соответствующих этим числам собственных функций итерированного ядра

Так как для невырожденного ядра то с увеличением улучшается сходимость рядов в правой части (21). Из (21) получаем

и

Формулы (22), (23) можно использовать для приближенных вычислений первых характеристических чисел ядра Пусть Тогда с ростом в правых частях (22) и (23) становится преобладающим первое слагаемое. Отбрасывая остальные слагаемые, получаем приближенные формулы

В теории интегральных уравнений и ее приложениях большую роль играет вопрос о быстроте роста характеристических чисел интегрального уравнения

Эти числа, как известно, являются нулями функции определителя Фредгольма. Функция определяется как сумма ряда по степеням X:

и является целой функцией от X.

В предположении ограниченности ядра

используя неравенство Адамара, мы получили оценку (см. § 3)

Из теории целых аналитических функций, в силу нера венства (26) для следует, что все корни уравнения расположенные в порядке возрастания их модулей, обладают тем свойством, что ряд

сходится для всякого

Этот результат может быть уточнен. Именно, если — симметричное ядро, то все характеристические числа действительны и имеет место неравенство

откуда следует сходимость ряда если

Следует отметить, что это условие ограниченности левой части неравенства (28) неулучшаемо.

Непосредственная оценка коэффициентов с помощью неравенства Адамара позволяет и в самом общем случае несимметричного ядра получить оценку быстроты роста в зависимости от гладкости функции по переменным Для случая раз непрерывно дифференцируемого ядра . Вейль получил следующую асимптотику характеристических чисел ядра при возрастании

Подробнее об этом см. [18].