ГЛАВА IX. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основы теории нелинейных интегральных уравнений были заложены в работах А. М. Ляпунова, Л. Лихтенштейна, Э. Шмидта, П. С. Урысона, А. Гаммерштейна, Разработана она значительно меньше, чем теория линейных интегральных уравнений.

§ 37. Уравнения Гаммерштейна

В свое время (стр. 74) мы рассмотрели нелинейное интегральное уравнение

и установили, что если функция удовлетворяет условию Липшица по своему функциональному аргументу

и

то в силу принципа сжатых отображений уравнение (1) имеет при указанных значения к единственное непрерывное решение.

Рассмотрим уравнение Гаммерштейна

Здесь — известные функции, — искомая функция. Функцию называют ядром уравнения (2).

Пусть симметричное -ядро и функция Нетрудно показать что для любой функции справедлива оценка (нормы берутся в )

где — наименьшее по абсолютной величине характеристическое число ядра

Покажем, что если в уравнении (2) функция такова, что

то это уравнение имеет единственное решение, которое может быть найдено методом последовательных приближений.

Действительно, правая часть (2) определяет отображение пространства в себя. Имеем

так что отображение — сжимающее, и наше утверждение вытекает из принципа сжатых отображений.

Рассмотрим важный частный случай уравнения (2). Предположим, что ядро уравнения Гаммерштейна (2) вырожденное, т. е.

Уравнение (2) принимает в этом случае вид

и называется вырожденным уравнением Гаммерштейна. Положим

где — пока неизвестные постоянные. Тогда в силу (5) будем иметь

Подставляя (7) в (6), приходим к системе нелинейных уравнений (вообще, трансцендентных)

равносильной уравнению (5).

Если существует решение системы (8), т. е. существует чисел таких, что подстановка их в систему (8) обращает ее уравнения в тождества, то существует решение интегрального уравнения (5), определяемое равенством

Таким образом, число решений (вообще, комплексных) интегрального уравнения (5) равно числу решений системы (8).

Уже на простейших примерах уравнений Гаммерштейна можно увидеть ряд новых явлений, специфических для нелинейных уравнений и не имеющих места в линейных задачах.

Рассмотрим интегральное уравнение

Положим

Тогда

Подставляя это выражение для в (10), будем иметь

Уравнение (11) имеет два решения: Следовательно, исходное интегральное уравнение также имеет два решения при любом

Заметим, что линейное однородное интегральное уравнение

с тем же ядром имеет ненулевое решение лишь при одном значении , именно являющемся характеристическим числом ядра Поэтому, если по аналогии с линейным случаем считать характеристическим значение , при котором уравнение (9) имеет по крайней мере одно ненулевое решение, то здесь получаются бесконечные интервалы характеристических чисел

При решении интегрального уравнения

для всех для определения постоянной с приходим к уравнению

Если то уравнение (13), а следовательно, и (12) не имеют действительных решений.

Если то уравнение (13) и, следовательно, исходное уравнение (12) имеют бесконечное множество действительных решений.

Рассмотрим, наконец, уравнение

Положим

Тогда

Подставляя из (16) в (15), получим

откуда

и

Таким образом, уравнение (14) допускает действительные решения только при . Оно имеет два решения при и одно решение при (при имеется одно ограниченное решение ). Соответствующее уравнение без свободного члена

всегда допускает нетривиальные решения . Но это, как мы видим, не означает, что уравнение (14) со свободным членом имеет бесконечное множество решений. Точно так же наличие при некотором к у нелинейного уравнения без свободного члена только нулевого решения вовсе не означает, что соответствующее

уравнение со свободным членом имеет ровно одно решение.

Теоремы Фредгольма, касающиеся линейных интегральных уравнений, здесь не имеют места.

Для уравнения Гаммерштейна (2) с невырожденным ядром можно построить уравнение с близким к вырожденным ядром и решение этого последнего рассматривать как приближенное решение исходного уравнения (2).

В работе Гаммерштейна изучались нелинейные интегральные уравнения вида

при следующих предположениях:

1) для линейного интегрального уравнения с ядром справедливы теоремы Фредгольма, и итерированное ядро непрерывно;

2) ядро симметрично, т. е.

3) ядро положительно определенное, т. е. все его характеристические числа положительны;

4) — непрерывная функция своих аргументов, где — достаточно большая постоянная.

Метод Гаммерштейна опирается на теорему Гильберта — Шмидта и заключается в приведении интегрального уравнения (18) к системе алгебраических или трансцендентных уравнений с помощью системы ортонормированных собственных функций симметричного ядра Именно, если решение вообще существует, то в силу (18)

где

Так как то оказывается истокообразно представимой функцией и, в силу теоремы Гильберта — Шмидта, может быть представлена сходящимся рядом

где ортонормированные собственные функции ядра отвечающие характеристическим числам соответственно, а — некоторые неизвестные постоянные.

Так как

то задача решения данного интегрального уравнения оказывается эквивалентной задаче решения бесконечной системы уравнений с бесконечным числом неизвестных:

Рассмотрим приближенное решение

где постоянных должны удовлетворять следующей системе уравнений с неизвестными:

Гаммерштейн показал, что система (22) имеет по крайней мере одно решение, если функция непрерывна и удовлетворяет условию

где — положительные постоянные, причем наименьшего характеристического числа ядра

Оценку вообще говоря, улучшить нельзя, хотя само условие (23) можно несколько ослабить.

При этих предположениях мы строим последовательность функций

Можно показать, что из последовательности всегда можно выбрать подпоследовательность сходящуюся к решению интегрального уравнения

Таким образом, справедлива

Теорема 9.1 (существования). Если ядро уравнения (18) удовлетворяет условиям 1), 2), 3) и непрерывная функция удовлетворяет условию (23), то нелинейное интегральное уравнение (18) имеет по крайней мере одно решение.

Имеют место теоремы единственности решения уравнения (18).

Теорема 9.2. Если для любого фиксированного функция является неубывающей функцией то нелинейное интегральное уравнение (18) имеет самое большее одно решение.

Теорема 9.3. Нелинейное интегральное уравнение (18) имеет самое большее одно решение, если функция равномерно удовлетворяет условию Липшица

где

Приведем один весьма прозрачный критерий отсутствия решений уравнения Гаммерштейна с симметричным ядром

Пусть решение уравнения

и пусть — собственная функция ядра отвечающая наименьшему характеристическому числу

Умножая обе части (25) на и интегрируя по от а до получим

Аналогично из (26) находим

Из (27) и (28) вытекает

Следовательно, необходимое условие существования решения уравнения (25) есть

Отсюда непосредственно вытекает, что если ядро ), то при условии, что

не существует ни одного решения уравнения (25).

Так, например, при

где А и В таковы, что

уравнение (25) не имеет решений.