§ 20. Метод Винера—Хопфа

Этот метод был разработан приблизительно в для решения интегральных уравнений специального вида

называемых уравнениями типа Винера — Хопфа.

Отличительная особенность этих уравнений — ядро зависит от разности аргументов, а интервал интегрирования полубесконечный. Такие уравнения возникают всякий раз, когда мы имеем дело с граничными задачами, где границы являются полубесконечными (например, задача о дифракции волн на полуплоскости).

В методе Винера—Хопфа производится аналитическое продолжение преобразований Фурье по переменной преобразования с вещественной оси в комплексную плоскость.

Рассмотрим преобразование Фурье функции

для комплексных

Тогда

Важным является следующее свойство преобразования Фурье.

Пусть абсолютно интегрируемо произведение где — фиксированная постоянная. В этом случае преобразование Фурье функции является аналитической функцией в полосе комплексной -плоскости. Действительно,

и интеграл (3), определяющий сходится при равномерно относительно Следовательно, аналитична во всякой внутренней точке полосы —

Можно утверждать, что функция при стремится к нулю равномерно с

Аналогично показывается, что если при функция

аналитична в полуплоскости если при то функция

аналитична в полуплоскости (Здесь — действительные постоянные.)

Характерной особенностью любого решения по методу Винера — Хопфа является разложение функции комплексной переменной на сумму двух функций. Справедлива

Теорема 4.3. Пусть — аналитическая функция в полосе и такая, что при причем это неравенство выполняется равномерно для всех в полосе Тогда при

где функция аналитична в полуплоскости а функция аналитична в полуплоскости

При

В основе этого представления лежит теорема об интегральном представлении функции, аналитической в некотором кольце. Функция аналитическая в кольце представляется с помощью интегральной формулы Коши в виде суммы двух интегралов, причем контуром интегрирования служит граница кольца аналитичности Один из интегралов берется по внешней окружности, другой — по внутренней (для полосы им отвечают интегралы по прямым (рис. 13, а, б).

Функция, представленная интегралом вдоль внешней окружности, аналитична внутри этой окружности, а функция,

представленная интегралом по внутренней окружности, аналитична вне этой окружности. Переходя к случаю полосы и помещая центр «кольца» в точку получаем требуемое представление.

Рассмотрим теперь факторизацию произвольной функции т. е. представление этой функции в виде произведения

где аналитичны и не имеют нулей в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.

Рис. 13.

Ясно, что такое представление эквивалентно разложению функции

на сумму двух функций, каждая из которых аналитична в соответствующей области.

Иногда такое представление удается угадать; например, если

и на плоскости сделаны соответствующие разрезы, то можно взять

(аналитична и не имеет нулей при ),

(аналитична и не имеет нулей при ).

Такое представление, очевидно, не единственно, так как можно одновременно умножить и разделить на любую целую функцию, не имеющую нулей.

Приведем теорему, устанавливающую возможность факторизации для весьма широкого класса функций.

Теорема 4.4. Если функция удовлетворяет условиям, теоремы 4.3 (это означает, в частности, что функция аналитична и не имеет нулей в полосе при в полосе то существует представление где аналитичные, ограниченные и не имеющие нулей функции при соответственно.

Для доказательства теоремы 4.4 применим теорему 4.3 к функции Имеем

Здесь — любые числа, удовлетворяющие условиям Интеграл для сходится для всех в полуплоскости Так как с можно выбрать сколь угодно близким к то ограничена и аналитична при Аналогично, функция аналитична и ограничена при Полагая

будем иметь

или

Из свойств следует, что функция аналитична, ограничена и не имеет нулей при Аналогично, функция аналитична, ограничена и не имеет нулей при

Таким образом, построив функции обладающие требуемыми свойствами, мы доказали теорему 4.4.

Отметим, что требования, накладываемые на функцию можно существенно ослабить.

Рассмотрим сначала однородное интегральное уравнение типа Винера — Хопфа

(Полагаем для простоты поскольку это здесь несущественно: параметр можно считать входящим как множитель в ядро

Введем функции положив

Тогда уравнение (6) запишется так:

Теперь можно выразить через

Пусть функция являющаяся преобразованием Фурье ядра аналитична в полосе

Это соответствует асимптотическому поведению при

Мы рассматриваем решения уравнения (6), которые ведут себя, как при Условие Это необходимо для сходимости интеграла, входящего в интегральное уравнение. Асимптотическое поведение можно установить непосредственно из уравнения (8);

Отсюда видно, что необходимо должна рести себя при как Обозначая через преобразования Фурье функций соответственно, заключаем, что аналитична в полуплоскости будет аиалитична в полуплоскости

Рис. 14.

Значит, существует полоса (рис. 14), в которой аналитичны все преобразования Этот результат является основным в методе Винера — Хопфа.

Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (7) и используя теорему о свертке, получим

или

Функция аналитична в полосе

Попытаемся разложить ее на множители так, чтобы

Эти множители должны быть аналитичны и отличны от нуля в полуплоскостях соответственно.

Обычно дополнительно требуют, чтобы имели алгебраический рост, а не экспоненциальный. Возможность такого разложения была показана Винером и Хопфом.

В каждой данной задаче это разложение на множители должно быть фактически осуществлено.

Пусть такое разложение выполнено. Тогда уравнение (9) можно переписать так:

Левая часть этого соотношения анадитична в полуплоскости в то время как правая часть аналитична в полуплоскости Поскольку они имеют общую область аналитичности в которой они равны, то можно утверждать, что является аналитическим продолжением в нижнюю полуплоскость. Следовательно, функция аналитична во всей плоскости комплексной переменной и потому является целой функцией

откуда

Чтобы найти вид надо еще учесть поведение этой

- функции при больших Условие интегрируемости в начале координат приводит к асимптотике

Пусть уже выбрана так, что имеет алгебраический рост, т. е. при больших ведет себя, как полином. Тогда будет представлять собой полином степени меньшей, чем порядок роста (так как должно стремиться к нулю при ). Этим определяется вид

Таким образом, учитывая (11), находим

откуда по формулам обращения получаем

Этим завершается решение интегрального уравнения Винера — Хопфа (6). Заметим, что определяются с точностью до некоторых постоянных. Последние можно определить из физического смысла задачи или подстановкой решения в исходное интегральное уравнение (6).

Пример. Рассмотрим интегральное уравнение

Здесь ядро Его преобразование Фурье

так что аналитично в полосе

Выражение в данном случае равно

Представим функцию в виде

Следовательно,

Функция аналитична при Функция аналитична и не обращается в нуль при . Существует полоса в которой обе функции, и аналитичны и отличны от нуля. Имеем

Функция должна быть аналитичной во всей конечной плоскости комплексной переменной к, а при Из этого условия следует, что в данном примере должна равняться постоянной С. Она не может расти так быстро, как , иботогда при Она не может и убывать, так как отсюда вытекало бы существование особенности у функции (полюса или точки разветвления) в конечной частя комплексной плоскости. Итак, и

Отсюда

Так как в этом выражении , то, замыкая контур интегрирования полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости, и используя теорему Коши о вычетах, находим

Таким же способом находим

Исходя непосредственно из интегрального уравнения, легко установить, что при функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

для которого (13) является решением.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение Винера — Хопфа

Применяя преобразование Фурье, приходим к соотношению

Представляя в виде перепишем равенство (14) так:

Первые два слагаемых имеют нужный вид. Третье слагаемое такого вида не имеет. Пусть существует полоса, в которой аналитичны и Тогда мы можем применить разложение (4):

Соотношение (15) перепишется после этого так:

Левая часть аналитична в некоторой полуплоскости правая — в полуплоскости Существует полоса аналитичности, общая для них, так что правая часть (17) является аналитическим продолжением левой части в нижнюю полуплоскость. Функция выбирается как целая функция; характер ее определяется асимптотическим поведением при одного из определяющих ее выражений. Определив находим

и по формуле обращения получаем