§ 41. Метод Ньютона

Пусть — действительная функция действительного аргумента. Тогда, как известно, для отыскания действительного корня уравнения

можно применить метод Ньютона (метод касательных). Он состоит в нахождении последовательности приближенных решений этого уравнения по формуле

В работах Канторовича было показано, что метод Ньютона может быть перенесен на операторные уравнения вида

где — абстрактная функция, определенная в некотором банаховом пространстве X со значениями, вообще говоря, в другом банаховом пространстве

Пусть элемент есть нуль абстрактной функции

т. е.

Предположим, что в некоторой окрестности точки х функция имеет производную Фреше непрерывную в этой окрестности. Предположим еще, что существует

Возьмем произвольный элемент . В силу предположений можно заменить элемент

близким ему выражением и считать, что решение уравнения

близко к Последнее уравнение — линейное, и его решением будет

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближенных решений по формуле

При определенных условиях последовательность сходится к корню х уравнения Неудобство этих формул в том, что всякий раз приходится находить обратный оператор

Если последовательность сходится к корню выбрано достаточно близко к х, то в предположении непрерывности операторы будут мало отличаться. Поэтому вместо формул (2) вводят упрощенные:

где для любого фигурирует один и тот же обратный оператор .

Формулы (3) дают, вообще говоря, худшие приближения, но значительно проще формул (2).

Этот метод построения приближенных решений называют модифицированным методом Ньютона.

И основной, и модифицированный методы Ньютона являются одними из наиболее употребительных на практике приемов решения нелинейных функциональных уравнений.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 9.6. Пусть функция имеет производную Фреше в некотором шаре с центром и радиусом и эта производная удовлетворяет в шаре условию Липшица

Пусть существует и

Тогда, если то в шаре где меньший корень уравнения уравнение имеет единственное решение х и последовательность определяемая формулой (3), сходится к этому решению.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве X отображение

Это отображение переводит шар в себя. Действительно,

Поэтому

Рассмотрим функцию

Имеем

Если

Заметив, что по теореме о среднем (аналог теоремы Лагранжа классического анализа, [11]) получаем

Таким образом, если то из (4) и (5) имеем

Последнее означает, что отображение А переводит шар в себя.

Покажем теперь, что А — сжимающее отображение в этом шаре. Для имеем

откуда

Так как меньший корень уравнения то Поэтому

откуда

так что А — сжимающее отображение.

Из теоремы Банаха (§ 7) следует, что отображение А имеет в шаре единственную неподвижную точку Для этой точки

откуда есть решение уравнения

В силу (3)

и на основании теоремы Банаха последовательность сходится к

Из неравенства (6) нетрудно получить оценку скорости сходимости модифицированного метода Ньютона

Обычный (немодифицированный) метод Ньютона сходится быстрее: для него

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение

где — непрерывная функция всех, своих аргументов, имеющая непрерывные производные нужного порядка. Введем абстрактную функцию

Тогда уравнение (8) запишется в виде функционального уравнения

Процесс Ньютона для этого уравнения строится следующим образом. Пусть, например, и пусть — начальное приближение. Абстрактная функция преобразует пространство в себя, сильно дифференцируема, причем

Поправка определяется из уравнения

которое в силу (9) будет иметь вид

где

Таким образом, нахождение каждого следующего приближения сводится к решению линейного интегрального уравнения. Если применять модифицированный процесс (3), то ядро такого уравнения на каждом шаге будет одним и тем же.

Детально с методом Ньютона можно познакомиться в книге [10].