§ 13. Приложение к линейным интегральным уравнениям

1. Уравнение Фредгольма.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

с непрерывным в прямоугольнике ядром

Положим

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

или

Воспользовавшись теоремой 3.3, получаем, что если то уравнение (1) имеет единственное решение, которое определяется равенством

Ряд в правой части равенства (3) называют рядом Неймана.

Изучим подробнее это решение. Пусть Как известно (см. стр. 91), , так что условие или, что то же, будет заведомо выполнено, если Будем считать, что X удовлетворяет этому условию. Выясним,

что представляют в рассматриваемом случае степени оператора А. Имеем

Положим

Функция называется повторным ядром или второй итерацией ядра (считаем Итак,

или, меняя обозначение переменной интегрирования,

Далее,

где

— третья итерация ядра

Вообще,

где итерация ядра определяемая формулой

Равенство имеющее место для операторов, дает

Отметим, что все итерированные (повторные) ядра непрерывного ядра непрерывны в

С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения (1) может быть записано так:

где ряд, стоящий в правой части, при сходится равномерно.

Преобразуем выражение, для решения интегрального уравнения. Рассмотрим ряд

Этот ряд равномерно сходится при если

В самом деле,

и, вообще,

Отсюда

где

Таким образом, члены ряда (7) по абсолютной величине не превосходят членов сходящегося числового ряда

откуда и следует равномерная сходимость ряда (7). Обозначим сумму этого ряда

Функция есть непрерывная функция аргументов и аналитическая функция к при Умножая обе части (8) на и интегрируя ряд почленно, получим

Сравнивая это выражение с выражением (6) для решения интегрального уравнения (1), можем написать

Функция называется разрешающим ядром или резольвентой ядра

Формула (9) верна только для значений параметра , достаточно малых по абсолютной величине, так как ряд (8), вообще говоря, не сходится при любых значениях к (последнее имеет место для уравнений Вольтерра, см. ниже стр. 111).

Существуют, однако, ядра, отличные от ядра Вольтерра, для которых формула (9) дает решение интегрального уравнения при любом значении . Таков случай ядра, ортогонального самому себе, т. е. такого, для которого . В этом случае все остальные повторные ядра также равны яулю и разрешающее ядро обращается в функцию Пусть, например, Тогда

Ясно, что все также равны нулю тождественно и, в силу (8),

Вообще, два ядра называются ортогональными, если они удовлетворяют двум условиям:

Ядра называются полу ортогональными у если выполняется одно из этих условий.

Упражнения. 1°. Показать, что ядро

где ряд сходится, ортогонально самому себе.

2°. Показать, что для ядра на отрезке резольвента есть многочлен относительно X степени

Примеры. 1. С помощью резольвенты решить интегральное уравнение

Решение. В данном случае

Последовательно находим

Согласно (8)

В силу формулы (9)

Из формулы (9) видно, что решение уравнения (V) существует и единственно при всех значениях Условие обеспечивает сходимость ряда (8) для резольвенты и гарантирует существование решения при . Но решение, как мы видим, существует в гораздо большей области изменения К.

2. В квантовомеханической теории рассеяния на потенциале V где при приходится искать решение уравнения Шредингера

Искомая функция представляется в виде суперпозиции падающей плоской волны с волновым вектором и рассеянной волны. Здесь — кинетическая энергия частиц падающего пучка, — постоянная Планка, — радиус-вектор частицы.

С помощью функции Грина (см. ниже § 31) задачу рассеяния можно преобразовать к интегральному уравнению

где — падающая волна Решение этого интегрального уравнения можно записать в виде ряда Неймана. При этом уже первая итерация дает очень важный результат, известный как борновское приближение:

Резольвента удовлетворяет функциональным уравнениям

Чтобы доказать, например, первое, заменим в формуле (8), определяющей резольвенту, на

Умножим обе части (12) на и проинтегрируем по от а до

Интегралы в правой части (13) равны соответственно , и значит (13)

можно переписать так:

Умножая обе части последнего равенства на Я и добавляя к обеим частям придем к равенству

или

Справедливость функционального уравнения (11) устанавливается аналогично.

Упражнение. Переставляя переменные и в ядре получим вообще другое ядро сопояженное (союзное) с ядром Показать, что резольвента союзного ядра есть ), если резольвента исходного ядра была ).

Приведем еще одно важное свойство резольвенты . Будем рассматривать как ядро и применим к ней процесс построения итерированных ядер. Получим последовательность функций

Эти функции определяются одна за другой из рекуррентных соотношений

Используя представление резольвенты

и учитывая, что ряд в правой части (8) сходится абсолютно и равномерно в области для , получим, используя формулу (5) на стр. 100,

Сравнивая правую часть (8) с правой частью последнего равенства, имеем

Аналогично получаем, что

и, вообще,

Следовательно, разложение функции ряд Тейлора по степеням X имеет вид

При учитывая, что получаем как раз разложение (8) резольвенты .

Таким образом, если рассматривать при определенном значении как ядро уравнения Фредгольма, то соответствующим разрешающим ядром будет

Нетрудно видеть, что соотношения (10), (11) являются частными случаями общего функционального соотношения

которое выводится из (15) аналогично (10).

Полагая получим формулу (10); заменив на и на , получим формулу (11).

Формулу (16) можно записать в несколько более симметричной форме, если заменить на :

Полагая формуле (17) придадим вид

Переходя к пределу при получим интегро-дифференциальное уравнение

которое вместе с условием определяет резольвенту.

Формулы (1) и (9) можно рассматривать как обратные одна относительно другой. В самом деле, будем в соотношении (9) рассматривать функцию как данную, как неизвестную и запишем его в несколько более общем виде:

Это есть уравнение Фредгольма с ядром . Его резольвентой, как показано выше, является и для значения параметра она принимает значение Таким образом, формула, дающая решение уравнения (9), совпадает с уравнением (1).

Резольвента , определенная как сумма ряда (8), является аналитической функцией Я в круге

— а) комплексной -плоскости. С другой стороны, резольвента Фредгольма, построенная в § 3, является мероморфной функцией во всей плоскости . Можно показать, что обе эти резольвенты тождественно совпадают для значений параметра , достаточно малых по модулю.

Таким образом, резольвента Фредгольма является мераморфным продолжением резольвенты (8) на всю комплексную -плоскость. При этом для резольвенты Фредгольма остаются в силе функциональные уравнения (10), (11).

Имея в виду это продолжение резольвенты (8), заметим следующее.

Как уже отмечалось (см. § 3), если — регулярное, то однородное интегральное уравнение Фредгольма

имеет только тривиальное решение Поэтому, чтобы уравнение (20) имело нетривиальное решение (фундаментальную функцию), надо, чтобы при некотором значении не существовало ограниченного [обратного оператора , значит, должно быть полюсом резольвенты .

Покажем, обратно, что всякому полюсу резольвенты отвечает по крайней мере одна фундаментальная функция.

Действительно, пусть есть полюс порядка резольвенты . Запишем лорановское разложение в окрестности

Положим и в обе части функционального уравнения вместо резольвенты подставим ее разложение (21). Будем иметь

Приравнивая коэффициент при в обеих частях последнего равенства, получим соотношение

которое означает, что есть ненулевое решение однородного уравнения (20), отвечающее характеристическому числу при любом допустимом значении переменной а Так, в приведенном выше примере (см. стр. 103) мы имели Здесь — простой полюс резольвенты Согласно доказанному предложению, функция будет решением уравнения

в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

Упражнение. Пользуясь функциональным уравнением (11), показать, что если есть полюс порядка резольвенты , то функция является решением союзного однородного уравнения