ВВЕДЕНИЕ

Интегральными уравнениями принято называть уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.

Это определение не совсем удачно, хотя бы потому, что оно не указывает, какие еще действия, кроме интегрирования, можно производить над неизвестной функцией. Например, «интегральное» уравнение с неизвестной функцией

есть просто тождество, справедливое для любой непрерывно дифференцируемой функции, определенной в некотором интервале .

Не ставя перед собой задачу дать логически безупречное определение интегрального уравнения, ограничимся приведенным выще описательным определением и перечислим наиболее важные класса интегральных уравнений, которыми мы будем по преимуществу заниматься.

§ 1. Основные классы интегральных уравнений

I. Линейные интегральные уравнения

Интегральное уравнение называется линейным, если в него неизвестная функция входит линейно. Т, уравнение

где искомая функция, известные функции, X — параметр, есть линейное интегральное уравнение. Функция называется ядром интегрального уравнения (1), функция называется свободным членом.

1. Уравнение Фредгольма.

Это один из наиболее важных классов линейных интегральных уравнений. Различают интегральные уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода. В простейшем случае линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид

Здесь — неизвестная функция.

Пределы Интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными.

Считаем, что переменная меняется в том же промежутке по которому совершается интегрирование. В уравнениях Фредгольма ядро и свободный член либо непрерывны (первое — в квадрате второй — на отрезке либо удовлетворяют условиям

Ядра, удовлетворяющие условию (3), будем называть фредгольмовыми.

Если (точнее, если обращается в нуль почти всюду в ), то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.

Отметим, что (2) представляет собой не одно уравнение, а семейство уравнений, зависящее от числового параметра К.

Уравнение Фредгольма 1-го рода характеризуется отсутствием члена, содержащего неизвестную функцию вне

интеграла. В простейшем случае оно имеет вид

где ядро и функция удовлетворяют сформулированным выше условиям.

Примеры.!. Уравнение

есть интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Здесь ядро и свободный член непрерывны соответственно в квадрате и на отрезке [0, 1].

2. Уравнение

фредгольмово, так как

3. Уравнение

не фредгольмово. Действительно,

Внутренний интеграл в правой части (5),

откуда следует, что интеграл (5) расходится.