§ 11. Пространство операторов

Зафиксируем два линейных нормированных пространства Е и Е и будем рассматривать всевозможные линейные операторы действующие из Е в

Два оператора А и В считаем равными и пишем если они совпадают на всем Е, т. е.

Определим сумму операторов и произведение оператора на число следующим образом:

Это будут снова операторы, действующие из Е в Е, и по отношению к так введенным операциям множество всех таких линейных операторов в свою очередь образует линейное пространство. Нулем этого пространства будет нулевой оператор, определяемый равенством

Более того, эта совокупность операторов будет линейным нормированным пространством. В самом деле, для каждого оператора А определена норма этого оператора — неотрицательное число, равное и остается лишь проверить выполнение аксиом нормы.

Проверим, например, выполнимость аксиомы треугольника. Имеем

так что аксиома треугольника для норм оказывается выполненной.

Итак, совокупность всех линейных операторов, действующих из Е в есть линейное нормированное про странство. Будем его обозначать символом .

Можно показать ([38]), что если -полное пространство, то пространство линейных операторов также полное.

Именно, пусть имеем последовательность операторов

т. е. последовательность операторов фундаментальна. Тогда существует оператор такой, что

Эту сходимость по норме в пространстве операторов называют равномерной сходимостью последовательности операторов.

Пусть Е — линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, определенных на Е с областью значений, расположенной в том же пространстве. Как мы показали, эти операторы образуют линейное пространство.

Определим произведение операторов А, В из формулой

Легко видеть, что А В снова линейный оператор. В самом деле,

По индукции определяется произведение любого числа операторов. В частности, Нетрудно проверить, что

Далее, существует единичный оператор I, определяемый равенством

и такой, что для любого оператора А.

Определение. Назовем кольцом множество элементов с двумя операциями, называемыми сложением и умножением, которые записываются соответственно как сумма и произведение, и удовлетворяющих следующим условиям;

1) Относительно сложения -абелева группа.

2) Умножение ассоциативно

3) для любых

Кольцо называется коммутативным, если в нем тождественно

Таким образом, множество (Е Е) линейных операторов образует кольцо с единицей I. (Множество четных чисел с обычными операциями сложения и умножения образует кольцо без единицы.)

Кольцо операторов некоммутативно, так как, вообще говоря,

что видно хотя бы на примере матричных операторов.