§ 39. Разветвление решений

Пусть имеем уравнение

определяющее абстрактную неявную функцию и пусть по-прежнему

Остановимся теперь на вырожденном случае, когда оператор не имеет ограниченного обратного.

Ограничимся уравнениями (1) частного вида

где оператор А вполне непрерывен в том смысле, что он непрерывен по совокупности аргументов в некоторой окрестности точки и что компактно множество его значений на этой окрестности. Предполагается, что оператор А действует из

Определение. Пара называется точкой ветвления для уравнения (3), если для каждого можно указать такое X, что и уравнение (3) имеет по крайней мере два решения, лежащие в -окрестности точки

Из рассуждений § 38 следует, что пара не является точкой ветвления, если в окрестности точки существует оператор ), непрерывный по , и единица не является точкой спектра оператора

Из общей теории нелинейных операторов известно, что производная нелинейного вполне непрерывного оператора является линейным вполне непрерывным оператором. Вырожденный случай для уравнения (3) означает, что единица является собственным значением оператора

Рассмотрим уравнение Урысона

имеющее как раз вид (3), и пусть

Пусть единица является характеристическим числом ядра и пусть этому числу отвечает лишь одна собственная функция (с точностью до постоянного множителя), а следовательно, сопряженному уравнению — одна собственная функция Рассмотрим

вспомогательное уравнение

где — дополнительный параметр.

Если принять

то уравнение (5) будет равносильно уравнению (4).

Смысл этого преобразования в том, что для уравнения

единица не является характеристическим числом ядра где , следовательно, возможно продолжение по параметрам при малых — Но решения

уравнения (5), где

Подставив (7) в правую часть (6), получим так называемое уравнение разветвления

или, короче,

связывающее X и Находя отсюда и подставляя результат в (7), получим решение уравнения (4) такое, что

Нетрудно показать, что так что уравнение (8) разрешить однозначно относительно вообще говоря, невозможно.

Вопросам ветвления решений нелинейных уравнений посвящена обширная литература (см., например, [4]), к которой мы и отсылаем читателя, желающего детально ознакомиться с этим кругом идей.