ГЛАВА V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Понятие вполне непрерывного оператора возникло при изучении интегральных операторов, которые и в настоящее время являются наиболее важными примерами вполне непрерывных операторов. Это понятие было введено Гильбертом и затем разрабатывалось его школой Шмидтом, Ф. Риссом, Г. Вейлем и др.).

Фундаментальные исследования этих математиков показали, что основные классические свойства интегральных операторов (например, теоремы Фредгольма) связаны не с интегральной природой этих операторов, а с их полной непрерывностью.

§ 21. Компактность множества. Критерий компактности

Определение. Множество расположенное в метрическом пространстве X, называется компактным, если всякая последовательность элементов множества содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если пределы указанных последовательностей принадлежат то множество называется компактным в се6е, если же эти пределы принадлежат пространству X, не принадлежа, быть может, множеству то называется компактным в пространстве X.

Если каждое бесконечное подмножество метрического пространства X содержит сходящуюся к некоторому элементу из X последовательность, то пространство называется компактным или просто компактом. Ясно, что компакт есть полное метрическое пространство.

Примеры. 1. Пусть . В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса множество — компактное в себе множество. Интервал компактен в но не компактен в себе.

2. Пусть (числовая прямая). Пространство X некомпактно: последовательность натуральных чисел не имеет предела. Однако в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса всякое ограниченное множество в пространстве компактно.

Вообще, в -мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное бесконечное множество компактно.

Компактность ограниченных множеств есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств. Именно, для того чтобы подпространство линейного нормированного пространства Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множество элементов из было компактно.

Приведем критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах.

Критерий компактности в

Определение. Множество функций называется равномерно ограниченным, если существует постоянная такая, что для всех при любом

Множество функций называется равностепенно непрерывным, если для любого существует зависящее только от такое, что для любых из удовлетворяющих неравенству и для любой функции из рассматриваемого множества имеет место соотношение

Теорема (Арцела). Для того чтобы множество функций было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Можно сформулировать простое достаточное условие компактности множества функций

Если для множества функций дифференцируемых на отрёзке существуют такие постоянные что для всех выполнены неравенства

то множество компактно в

В самом деле, семейство равномерно ограничено по условию. Применяя формулу Лагранжа, имеем

откуда следует, что семейство D равностепенно непрерывно. Из теоремы Арцела следует, что компактно в

Упражнение. Будет ли компактным в семейство функций

Критерий компактности в

Пусть Продолжим функцию нулем за пределы отрезка Тогда для любого отрезка числовой оси интеграл

имеет смысл.

Теорема 5.1 (М. Рисса). Для того чтобы семейство функций было компактно, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным по норме и равномерно непрерывным в среднем, т. е. чтобы

при сразу для всех функций семейства.