II. Линейное нормированное пространство

Определение. Множество Е называется линейным нормированным пространством, если:

1°. Е — линейное пространство.

2°. Каждому элементу поставлено в соответствие действительное число, которое называется нормой этого элемента, обозначается символом и удовлетворяет следующим условиям (аксиомы нормы):

2) (аксиома треугольника),

3) (однородность нормы).

Эти свойства — естественное перенесение свойств нормы (длины) вектора в обычном трехмерном пространстве на элементы любой природы.

В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства

Легко проверить, что так введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Так как то из определения (1) следует, что

так что норма любого элемента равна его расстоянию от нуля. Введя метрику, можно определить сходимость последовательности элементов к а именно:

если

Определенная таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостью по норме.

Если линейное нормированное пространство является полным в смысле сходимости по норме, то оно называется пространством Банаха или пространством типа В.

Примеры. 1. -мерное векторное пространство с обычными операциями сложения векторов и умножения их на число и нормой

есть пространство типа В.

2. есть пространство типа В. Сложение функций и умножение функций на число определяем обычным образом. Положим

тогда

так что метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее введенной в

Как было показано, полно в этой метрике и, следовательно, есть банахово пространство.

3. есть пространство типа В. Здесь

4. Рассмотрим линейное пр остранство функций непрерывных на отрезке Его можно сделать нормированным пространством, положив

Будем это пространство обозначать Здесь

Пространство не полно. Приведем пример (см. [5]) фундаментальной последовательности из

не имеющей предела в Беря для простоты отрезок рассмотрим функцию (рис. 8)

Рис. 8.

Рис. 9.

В смысле метрики (2), т. е. по норме, последовательность сходится к функции (рис. 9)

Действительно,

и поэтому

Отсюда следует, что последовательность фундаментальна на предела в она не имеет, так как сходится к разрывной функции.

Поэтому есть линейное нормированное пространство, не являющееся банаховым пространством.

5. Пространство непрерывных на функций с нормой

не является -пространством. Можно показать, что последовательность непрерывных функций

фундаментальна, но сходится в смысле среднего квадратичного уклонения к разрывной функции

Для банаховых пространств справедливо все, что имеет место для полных метрических пространств (в частности, -пространствах работает принцип сжатых отображений)