§ 14. Теоремы Фредгольма для общего случая уравнения Фредгольма

Мы установили, что интегральное уравнение

или, короче,

с произвольным, непрерывным в ядром имеет единственное непрерывное решение определяемое формулой

для всех к таких, что Здесь — резольвента ядра

Для уравнений Фредгольма с вырожденным ядром были доказаны (см. § 4) три фундаментальные теоремы Фредгольма, касающиеся разрешимости таких уравнений. Попытаемся распространить эти теоремы на случай произвольного непрерывного ядра.

В силу теоремы Вейерштрасса всякое непрерывное в ядро можно представить в виде

где

— вырожденное ядро, а ядро по норме С может быть сколь угодно малым. Поэтому уравнение (1) можно записать так;

Пусть — произвольное положительное число. Выберем оператор так, чтобы Тогда для всех к таких, что будем иметь и уравнение

будет однозначно разрешимо в при любой функции причем

где — резольвента ядра

Перепишем уравнение (3) в виде

где

Считая известной, с помощью формулы (4) приходим к уравнению, эквивалентному исходному:

или

Первые два слагаемых правой части (5) — известные функции. Далее,

так что ядро уравнения (5) — вырожденное.

Таким образом, любое интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывным ядром может быть сведено к уравнению с вырожденным ядром. Пользуясь этим, можно показать ([20]), что теоремы Фредгольма, установленные в свое время (см. § 4) для уравнений с вырожденным ядром, имеют место для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром, а также -ядром.

Учитывая еще результаты § 3, сформулируем окончательно четыре теоремы Фредгольма.

Теорема 3.6. Если значение X не является характеристическим, то как данное интегральное уравнение, так и сопряженное с ним однозначно разрешимы при любом свободном члене Соответствующие однородные уравнения имеют при этом только тривиальные решения.

Теорема 3.7. Если значение X характеристическое, то однородное интегральное уравнение, так же как и сопряженное с ним однородное уравнение, имеет нетривиальные решения. Число линейно независимых решений однородного интегрального уравнения конечно и равно числу линейно независимых решений однородного сопряженного уравнения.

Теорема 3.8. Для того чтобы неоднородное интегральное уравнение было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член был ортогонален ко всем решениям соответствующего однородного сопряженного уравнения.

Теорема 3.9. Уравнение Фредгольма имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.

Из теорем Фредгольма вытекает так называемая альтернатива Фредгольма:

Либо неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части, либо соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальные решения.

Первый случай альтернативы имеет место при нехарактеристическом значении X, второй — если X является характеристическим числом.

Приведем теорему, дающую оценку погрешности решения, которая получается при замене данного ядра на близкое к нему другое ядро, в частности на вырожденное.

Теорема 3.10. Пусть даны два интегральных уравнения

и пусть — резольвента уравнения (7) с ядром Пусть, далее, имеют место неравенства

Тогда, если выполнено условие

то уравнение (6) имеет единственное решение и разность между этим решением и решением уравнения (7) удовлетворяет оценке

Доказательство. Предполагая существование ограниченного, решения уравнения (6), обозначим

и рассмотрим интегральное уравнение

где Тогда в силу формулы (2)

Далее,

и, следовательно,

для всех Поэтому и не превосходит величины, стоящей справа в (13), т. е.

откуда

причем последний переход законен, если выполнено условие (11):

Итак, при выполнении условия (11) все решения уравнения (6) ограничены для любой ограниченной Это показывает, что к не является характеристическим числом ядра и уравнение (6) имеет единственное решение.

В самом деле, если бы к было характеристическим числом, то, прибавляя к решению неоднородного уравнения (6) собственную функцию ядра мы снова бы получили решение уравнения (6). Поскольку собственная функция определяется с точностью до постоянного множителя, ее можно взять такой, чтобы максимум ее модуля был больше любого наперед заданного числа и, значит, для уравнения (6). можно было бы найти решение, сколь угодно большое по абсолютной величине. Это противоречит доказанной выше ограниченности всех решений уравнения (6).

Докажем теперь оценку (12). Вычитая почленно уравнение (7) из (6), получим

или

Положим

Тогда последнее соотношение примет вид

откуда

так что

Но

Из (15), используя оценки (16), (10) и (14), получаем

Теорема доказана.

На этой теореме основан метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с помощью замены ядра близким к нему вырожденным ядром.

Опираясь на теорему 3.3, нетрудно показать, что если оператор А имеет обратный, то близкий к нему оператор также обратим.

Теорема 3.11. Пусть оператор , где Е — банахово пространство, имеет обратный и пусть «возмущающий» оператор таков, что

Тогда оператор имеет обратный причем

В самом деле,

Так как по условию то оператор имеет обратный

Легко проверить, что оператор есть оператор, обратный оператору т. е. оператор В имеет обратный

Далее,

что завершает доказательство теоремы.

С помощью этой теоремы при решении линейных уравнений

иногда удается избежать утомительных выкладок, связанных с нахождением оператора если известен обратный оператор для «близкого» линейного оператора А. Оператор А должен быть таким, чтобы разность удовлетворяла соотношению

Наличие обратного оператора обеспечивает разрешимость уравнения

(а вместе с тем и разрешимость исходного уравнения (18)).

Пусть - решение уравнения (19). Тогда для отклонения

с учетом (17) получаем