2. Уравнение Вольтерра.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

Его можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма с «треугольным» ядром определяемым следующим образом:

Поэтому к уравнению (23) приложима вся развитая выше теория. Однако, учитывая специфику ядра, мы получаем для итерированных ядер следующие выражения

и, вообще,

Будем предполагать, что ядро непрерывно в замкнутом треугольнике ограниченном прямыми и что

Рассмотрим формальный ряд

Пусть в указанном треугольнике

Тогда будем иметь

и, вообще,

Отсюда видно, что ряд (26) сходится равномерно при любом значении параметра и сумма его есть непрерывная функция

Обозначим сумму ряда (26) через

Функция есть целая функция параметра . Ее также называют разрешающим ядром или резольвентой для ядра

Как и в случае уравнения Фредгольма, получаем формулу

дающую решение уравнения (23) для любой непрерывной функции и при любом значении параметра . Это решение есть непрерывная функция аргумента

Резольвента уравнения Вольтерра (23), как и само ядро определена для и для Для общности формулы полагают обычно, что при

Заметим, что повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего предела а.

Упражнение. Покажите, что резольвента уравнения Вольтерра (23) удовлетворяет функциональному уравнению

Уравнение (23) с непрерывным ядром и правой частью имеет единственное непрерывное решение

В самом деле, если бы существовало два таких решения то их разность удовлетворяла бы однородному интегральному уравнению

или, короче,

Но уравнение (30) имеет единственное решение Действительно, пусть Легко видеть, что если — решение уравнения (30), т. то функции

тождественны с функцией Проводя оценку, аналогичную (27), находим

откуда следует, что при для Так как для любого , то, следовательно, на

Пример. С помощью резольвенты решить интегральное уравнение

Решение. В данном случае Пользуясь формулой (25), последовательно находим

Резольвента определится как сумма ряда

Используя формулу (29), получаем

Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимой переменной (например, времени, энергии и т. д.). Оператор Вольтерра

характерен тем, что значение функции в любой момент определяется значениями функции только при значениях т. е. этот оператор учитывает «предысторию» процесса.

Естественно, что и решение

уравнения Вольтерра (23) в каждый момент времени определяется величиной внешнего воздействия только в предшествующие моменты

Для уравнения Вольтерра 2-го рода характерна возможность продолжения решения: можно построить решение сначала на некотором отрезке для записать уравнение (23) в виде

где в квадратных скобках стоит уже известная функция, и затем решать его дальше.

Для уравнения Фредгольма

такое построение решения на части отрезка невозможно.

Мы установили однозначную разрешимость уравнения Вольтерра (23) в предположении, что ядро и свободный член непрерывны. Эти условия можно значительно ослабить. Именно, будем предполагать, что ядро интегрируется с квадратом по прямоугольнику

(такое ядро будем называть -ядром). Предположим также, что

Рассуждениями, аналогичными приведенным выше, получаем следующую теорему.

Теорема 3.4. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

у которого ядро а функция имеет единственное решение

Это решение определяется формулой

где резольвента есть целая функция параметра X и определяется, как сумма ряда, составленного из итерированных ядер:

причем ряд в правой части (33) сходится почти всюду в Таким образом, интегральное уравнение Вольтерра

с ядром однозначно разрешимо при любом свободном члене для любых значений параметра X.

Соответствующее однородное интегральное уравнение

имеет при любом X только тривиальное решение, так что интегральное уравнение Вольтерра с -ядром не имеет характеристических чисел.

Существуют и другие ядра, вовсе не имеющие характеристических чисел. Это вытекает из теоремы Лалеско ([49]).

Теорема 3.5. Пусть — фредгольмово ядро — его итерированные ядра. Для того, чтобы ядро не имело характеристических чисел, необходимо и достаточно, чтобы

Совсем иначе обстоит дело, если допускать или неин тегрируемые решения, или ядра с неинтегрируемой особенностью. Например, однородное уравнение

имеет непрерывное решение отвечающее значению параметра

Условимся и в этом случае отличные от нуля решения однородного уравнения называть собственными функциями, а соответствующие значения параметра X — характеристическими значениями.

Конечно, в случае существования при каком-нибудь X нетривиальных решений однородного уравнения

типа Вольтерра с неинтегрируемым ядром соответствующее неоднородное уравнение уже не. может иметь только одно решение: если вообще такое решение существует, то, прибавляя к нему любые опять получим решение неоднородного уравнения.

В вопросах единственности решения интегрального уравнения существенную роль играет класс функций, в котором ищется решение (класс суммируемых функций, квадратично суммируемых, непрерывных и т. д.).

Так, если ядро уравнения Вольтерра ограничено, когда меняется в некотором конечном интервале

и свободный член суммируем в интервале то уравнение Вольтерра при любом значении к имеет в интервале единственное суммируемое решение Однако если отказаться от требования суммируемости решения, то теорема единственности перестает быть верной в том смысле, что уравнение может иметь, наряду с суммируемым решением, еще и несуммируемые решения.

П. С. Урысон (1423) построил изящные примеры интегральных уравнений (см. ниже примеры 1 и 2), которые, наряду с суммируемым, имеют и несуммируемые решения; даже в том случае, когда ядро и функция непрерывны.

Будем считать для простоты и рассмотрим! интегральное уравнение

где — непрерывная функция.

Как было показано выше, в классе непрерывных (и, следовательно, суммируемых) функций это уравнение имеет единственное решение

Примеры. 1. Пусть

В квадрате ядро ограничено, так как

Более того, оно непрерывно при Уравнение (34) в этом случае имеет очевидное суммируемое решение , в силу сказанного выше, других суммируемых решений это уравнение не имеет.

С другой стороны, непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение (34) имеет бесконечное множество несуммируемых в решений вида

С—произвольная постоянная,

В самом деле, учитывая выражение (35) для ядра находим

Таким образом, получаем есть решение, несуммируемое в , уравнения (34).

2. Пусть — любое, в частности,

Функция даже аналитична всюду, за исключением

Однако уравнение (34) с ядром (36) допускает несуммируемые решения. В самом деле, уравнение

имеет суммируемое решение, так как функция

ограничена и непрерывна всюду, кроме точки Функция

где — решение уравнения (37), будет уже несуммируемым в решением уравнения (34) с ядром (36). Действительно, для имеем

В силу уравнения (37) первое слагаемое в правой части (39) есть

Второе слагаемое дает

Таким образом,

а это и означает, что функция определяемая равенством (38), есть несуммируемое решение уравнения (34) с ядром (36).

Интегральное уравнение

где - непрерывные функции на каждая из которых по абсолютной величине меньше может быть рассматриваемо как особый случай уравнения Фредгольма, в котором ядро для всех значений вне интервала равно нулю. Когда абсолютные значения не превосходят резольвента такого уравнения представляет целую функцию от как и в случае уравнения Вольтерра. Достаточно сравнить это уравнение с вспомогательным мажорирующим уравнением вида

которое имеет своим решением функцию