Главная > Интегральные уравнения. Введение в теорию
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Уравнение Вольтерра.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

Его можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма с «треугольным» ядром определяемым следующим образом:

Поэтому к уравнению (23) приложима вся развитая выше теория. Однако, учитывая специфику ядра, мы получаем для итерированных ядер следующие выражения

и, вообще,

Будем предполагать, что ядро непрерывно в замкнутом треугольнике ограниченном прямыми и что

Рассмотрим формальный ряд

Пусть в указанном треугольнике

Тогда будем иметь

и, вообще,

Отсюда видно, что ряд (26) сходится равномерно при любом значении параметра и сумма его есть непрерывная функция

Обозначим сумму ряда (26) через

Функция есть целая функция параметра . Ее также называют разрешающим ядром или резольвентой для ядра

Как и в случае уравнения Фредгольма, получаем формулу

дающую решение уравнения (23) для любой непрерывной функции и при любом значении параметра . Это решение есть непрерывная функция аргумента

Резольвента уравнения Вольтерра (23), как и само ядро определена для и для Для общности формулы полагают обычно, что при

Заметим, что повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего предела а.

Упражнение. Покажите, что резольвента уравнения Вольтерра (23) удовлетворяет функциональному уравнению

Уравнение (23) с непрерывным ядром и правой частью имеет единственное непрерывное решение

В самом деле, если бы существовало два таких решения то их разность удовлетворяла бы однородному интегральному уравнению

или, короче,

Но уравнение (30) имеет единственное решение Действительно, пусть Легко видеть, что если — решение уравнения (30), т. то функции

тождественны с функцией Проводя оценку, аналогичную (27), находим

откуда следует, что при для Так как для любого , то, следовательно, на

Пример. С помощью резольвенты решить интегральное уравнение

Решение. В данном случае Пользуясь формулой (25), последовательно находим

Резольвента определится как сумма ряда

Используя формулу (29), получаем

Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимой переменной (например, времени, энергии и т. д.). Оператор Вольтерра

характерен тем, что значение функции в любой момент определяется значениями функции только при значениях т. е. этот оператор учитывает «предысторию» процесса.

Естественно, что и решение

уравнения Вольтерра (23) в каждый момент времени определяется величиной внешнего воздействия только в предшествующие моменты

Для уравнения Вольтерра 2-го рода характерна возможность продолжения решения: можно построить решение сначала на некотором отрезке для записать уравнение (23) в виде

где в квадратных скобках стоит уже известная функция, и затем решать его дальше.

Для уравнения Фредгольма

такое построение решения на части отрезка невозможно.

Мы установили однозначную разрешимость уравнения Вольтерра (23) в предположении, что ядро и свободный член непрерывны. Эти условия можно значительно ослабить. Именно, будем предполагать, что ядро интегрируется с квадратом по прямоугольнику

(такое ядро будем называть -ядром). Предположим также, что

Рассуждениями, аналогичными приведенным выше, получаем следующую теорему.

Теорема 3.4. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

у которого ядро а функция имеет единственное решение

Это решение определяется формулой

где резольвента есть целая функция параметра X и определяется, как сумма ряда, составленного из итерированных ядер:

причем ряд в правой части (33) сходится почти всюду в Таким образом, интегральное уравнение Вольтерра

с ядром однозначно разрешимо при любом свободном члене для любых значений параметра X.

Соответствующее однородное интегральное уравнение

имеет при любом X только тривиальное решение, так что интегральное уравнение Вольтерра с -ядром не имеет характеристических чисел.

Существуют и другие ядра, вовсе не имеющие характеристических чисел. Это вытекает из теоремы Лалеско ([49]).

Теорема 3.5. Пусть — фредгольмово ядро — его итерированные ядра. Для того, чтобы ядро не имело характеристических чисел, необходимо и достаточно, чтобы

Совсем иначе обстоит дело, если допускать или неин тегрируемые решения, или ядра с неинтегрируемой особенностью. Например, однородное уравнение

имеет непрерывное решение отвечающее значению параметра

Условимся и в этом случае отличные от нуля решения однородного уравнения называть собственными функциями, а соответствующие значения параметра X — характеристическими значениями.

Конечно, в случае существования при каком-нибудь X нетривиальных решений однородного уравнения

типа Вольтерра с неинтегрируемым ядром соответствующее неоднородное уравнение уже не. может иметь только одно решение: если вообще такое решение существует, то, прибавляя к нему любые опять получим решение неоднородного уравнения.

В вопросах единственности решения интегрального уравнения существенную роль играет класс функций, в котором ищется решение (класс суммируемых функций, квадратично суммируемых, непрерывных и т. д.).

Так, если ядро уравнения Вольтерра ограничено, когда меняется в некотором конечном интервале

и свободный член суммируем в интервале то уравнение Вольтерра при любом значении к имеет в интервале единственное суммируемое решение Однако если отказаться от требования суммируемости решения, то теорема единственности перестает быть верной в том смысле, что уравнение может иметь, наряду с суммируемым решением, еще и несуммируемые решения.

П. С. Урысон (1423) построил изящные примеры интегральных уравнений (см. ниже примеры 1 и 2), которые, наряду с суммируемым, имеют и несуммируемые решения; даже в том случае, когда ядро и функция непрерывны.

Будем считать для простоты и рассмотрим! интегральное уравнение

где — непрерывная функция.

Как было показано выше, в классе непрерывных (и, следовательно, суммируемых) функций это уравнение имеет единственное решение

Примеры. 1. Пусть

В квадрате ядро ограничено, так как

Более того, оно непрерывно при Уравнение (34) в этом случае имеет очевидное суммируемое решение , в силу сказанного выше, других суммируемых решений это уравнение не имеет.

С другой стороны, непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение (34) имеет бесконечное множество несуммируемых в решений вида

С—произвольная постоянная,

В самом деле, учитывая выражение (35) для ядра находим

Таким образом, получаем есть решение, несуммируемое в , уравнения (34).

2. Пусть — любое, в частности,

Функция даже аналитична всюду, за исключением

Однако уравнение (34) с ядром (36) допускает несуммируемые решения. В самом деле, уравнение

имеет суммируемое решение, так как функция

ограничена и непрерывна всюду, кроме точки Функция

где — решение уравнения (37), будет уже несуммируемым в решением уравнения (34) с ядром (36). Действительно, для имеем

В силу уравнения (37) первое слагаемое в правой части (39) есть

Второе слагаемое дает

Таким образом,

а это и означает, что функция определяемая равенством (38), есть несуммируемое решение уравнения (34) с ядром (36).

Интегральное уравнение

где - непрерывные функции на каждая из которых по абсолютной величине меньше может быть рассматриваемо как особый случай уравнения Фредгольма, в котором ядро для всех значений вне интервала равно нулю. Когда абсолютные значения не превосходят резольвента такого уравнения представляет целую функцию от как и в случае уравнения Вольтерра. Достаточно сравнить это уравнение с вспомогательным мажорирующим уравнением вида

которое имеет своим решением функцию

1
Оглавление
email@scask.ru