Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Уравнение Вольтерра.Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода
Его можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма с «треугольным» ядром
Поэтому к уравнению (23) приложима вся развитая выше теория. Однако, учитывая специфику ядра, мы получаем для итерированных ядер следующие выражения
и, вообще,
Будем предполагать, что ядро Рассмотрим формальный ряд
Пусть Тогда будем иметь
и, вообще,
Отсюда видно, что ряд (26) сходится равномерно при любом значении параметра Обозначим сумму ряда (26) через
Функция Как и в случае уравнения Фредгольма, получаем формулу
дающую решение уравнения (23) для любой непрерывной функции Резольвента уравнения Вольтерра (23), как и само ядро Заметим, что повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего предела а. Упражнение. Покажите, что резольвента
Уравнение (23) с непрерывным ядром В самом деле, если бы существовало два таких решения
или, короче,
Но уравнение (30) имеет единственное решение
тождественны с функцией
откуда следует, что Пример. С помощью резольвенты решить интегральное уравнение
Решение. В данном случае
Резольвента
Используя формулу (29), получаем
Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимой переменной (например, времени, энергии и т. д.). Оператор Вольтерра
характерен тем, что значение функции Естественно, что и решение
уравнения Вольтерра (23) в каждый момент времени Для уравнения Вольтерра 2-го рода характерна возможность продолжения решения: можно построить решение сначала на некотором отрезке
где в квадратных скобках стоит уже известная функция, и затем решать его дальше. Для уравнения Фредгольма
такое построение решения на части отрезка Мы установили однозначную разрешимость уравнения Вольтерра (23) в предположении, что ядро
(такое ядро будем называть Рассуждениями, аналогичными приведенным выше, получаем следующую теорему. Теорема 3.4. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода
у которого ядро Это решение определяется формулой
где резольвента
причем ряд в правой части (33) сходится почти всюду в
с ядром Соответствующее однородное интегральное уравнение
имеет при любом X только тривиальное решение, так что интегральное уравнение Вольтерра с Существуют и другие ядра, вовсе не имеющие характеристических чисел. Это вытекает из теоремы Лалеско ([49]). Теорема 3.5. Пусть
Совсем иначе обстоит дело, если допускать или неин тегрируемые решения, или ядра с неинтегрируемой особенностью. Например, однородное уравнение
имеет непрерывное решение Условимся и в этом случае отличные от нуля решения Конечно, в случае существования при каком-нибудь X нетривиальных решений типа Вольтерра с неинтегрируемым ядром соответствующее неоднородное уравнение уже не. может иметь только одно решение: если вообще такое решение В вопросах единственности решения интегрального уравнения существенную роль играет класс функций, в котором ищется решение (класс суммируемых функций, квадратично суммируемых, непрерывных и т. д.). Так, если ядро
и свободный член П. С. Урысон (1423) построил изящные примеры интегральных уравнений (см. ниже примеры 1 и 2), которые, наряду с суммируемым, имеют и несуммируемые решения; даже в том случае, когда ядро Будем считать для простоты
где Как было показано выше, в классе непрерывных (и, следовательно, суммируемых) функций это уравнение имеет единственное решение Примеры. 1. Пусть
В квадрате
Более того, оно непрерывно при С другой стороны, непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение (34) имеет бесконечное множество несуммируемых в
С—произвольная постоянная, В самом деле, учитывая выражение (35) для ядра
Таким образом, получаем 2. Пусть
Функция
имеет суммируемое решение, так как функция
ограничена и непрерывна всюду, кроме точки
где
В силу уравнения (37) первое слагаемое в правой части (39) есть
Второе слагаемое дает
Таким образом,
а это и означает, что функция
где
которое имеет своим решением функцию
|
1 |
Оглавление
|